课件-现代控制理论-刘豹第三版-第二章.ppt

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1、2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程的解2.6连续时间状态空间表达式的离散化2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从开始，即则其解为：(3)证明和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量幂级数形式，即(4)代入式(1)得：(5)既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次

2、幂项的系数应相等，有：在式(4)中，令，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即(7)于是式(6)可表示为：再用代替即在代替的情况下，同样可以证明式2)的正确性。2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或1．性质一这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。或(1)2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质即2.性质二或(2)3.性质三或(3)4.性质四或(4)这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。5.性质五对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当

3、AB≠BA是，则这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。2.2.3几个特殊的矩阵指数函数1．若A为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即则(7)3.若A为约旦矩阵则(8)4.若(9)1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4的计算3.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱

4、—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的冥次项，即（11）（3）的计算公式A的特征值互异时，则证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）上式对求解，记得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)上式对，求异数，有：再对求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对求解，记得公式（13）。2.3线性定常系统非齐次方程的解现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非

5、齐次矩阵微分方程：当初始时刻初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为，初始状态为时，其解为：式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：

6、1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当时3.斜坡响应即当时（6）（7）（8）2.4线性时变系统的解2.4.1时变系统状态方程解的特点为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统：采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1）因此（2）或者写成：仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数，而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4）能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程：遗憾的是，只有当满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下：使之有（

7、5）如果是齐次方程的解，那么必须满足：（6）把展开成幂级数：上式两边对时间取导数：(7)(8)(9)把式(7)两边左乘有：比较式(8)和式(9)，可以看出，要使成立，其必要和充分条件是：（10）即是乘法可交换的。但是，这个条件是很苛刻的一般是不成立的。从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写成一个封闭形式。2.4.2线性时变齐次矩阵微分方程的解尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解析形式，但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程：（11）其解为：（12）式中