高数-第一章-函数-习题详解.doc

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1、第一章函数习题1.11．用区间表示下列点集：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)由于实数全体为，因此．(2)由，有，因此．(3)由，有或，因此．(4)由，有，因此．2．求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．解(1)要使函数有定义,必须，即，所以函数的定义域为．(2)使得函数有意义的数集满足以下不等式组：，解之，得，即　　　　　　　　　　　　　　　　，所以函数的定义域为．(3)分段函数的定义域为各段函数定义域的并，所以函数的定义域为．3．设，求下列函数的定义域：(1)；(2)．解函数的定义域为，所以(1)的

2、定义域为，即．(2)的定义域为，即．4．求下列函数的值：(1)　，求，其中为常数且；(2)，求，其中为常数．解　(1)当时，；当时，；．(2)　当时，；当时，；当，即时，；当，即时，．5．下列各题的两个函数是否相同?为什么?(1)与；(2)与；(3)与；(4)与．解(1)不相同，因为对应法则不同，所以不是同一函数．(2)不相同，因为，它们对应法则不同，所以不是同一函数．(3)相同，因为和的定义域都是一切实数，且对应法则相同，所以是相同函数．(4)相同，因为对于任意，都有，所以是相同函数．6．判断下列函数的单调性：(

3、1)；　　　　　　　　　　　　(2)．解(1)因为在上是减函数，而在上是增函数，所以在上是增函数，而在上是减函数．(2)因为函数的定义域为，任取，且，则　　　　　，即，故在上是单增函数．7．证明函数在其定义域内是有界的．证　因为，所以，故函数在其定义域内是有界的．8．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(1)；(2)；(3)；(4)．解　(1)，其定义域为，是对称区间，又因为，，且，所以既非偶函数又非奇函数．(2)，其定义域为，是对称区间，因为，所以为奇函数．(3)，其定义域为，是对称区

4、间，因为，，且，所以既非偶函数又非奇函数．(4)，其定义域为，是对称区间，因为，所以为偶函数．9．下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1)；(2)；(3)；(4)．解　(1)是周期函数，周期为．(2)是周期函数，周期为2．(3)不是周期函数．(4)是周期函数，周期为．10．当为何值时，函数的定义域是？解　当时，，此时函数的定义域为；当时，只要，即，也就是当时，函数的定义域为；故当时，函数的定义域为．习　题1.21．已知，求，．解；．2．已知，求．解，即　　；，即　　　．3．设，求．解　令，则，于是

5、，即　　　　　　　　　　　．4．设满足，求．解　令，则，代入原方程得，即．该方程与原方程联立，解得．5．下列函数是哪些函数复合而成的？(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．(4)．6．设，，求和．解将直接代入，有，将直接代入，有．即．7．求下列函数的反函数：(1)；　　　　(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)由，解出，得反函数．(2)由，解出，得反函数．(3)由，解出，得反函数．(4)　由，解出，得反函数．(5)当时，的值域为，此时；当时，的值域为，此时．于是　　　　　　　　　　　　　，故反

6、函数为．8．指出下列函数是由哪些基本初等函数复合或四则运算而成：(1)；　　　(2)；(3)；　　　　(4)．解(1)．(2)．(3)．(4)．9．下列函数中哪些是初等函数？(1)；　(2)；(3)；　(4)．解(3)这个分段函数不能用基本初等函数复合或四则运算得到，因此它不是初等函数．而(1)，(2)，(4)均可由基本初等函数经复合或四则运算得到，因此是初等函数．10．设函数，，求，．解；．习　题1.31．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50千克时，按每千克0.15元收费，当超出50千克时，超重部分按每千克0

7、.25元收费，试建立行李收费(元)与行李重量(千克)之间的函数关系．解依题意，函数关系为，则．2．某商品的总成本函数为，产品销售价格与产量的关系为，试将产品全部销售出去后获得的总利润表示为产量的函数．解商品总收益函数为．由于总成本函数为，将产品全部销售出去后获得的总利润函数为　　　　　．由于销售价格，即，解得．故利润函数的定义域为．3．某商品的定价为5元/件，每月可销售出1000件，若每件售价降低0.01元，则可多售出10件，试求线性需求函数，并求收益与多售出件数的函数关系式．解设商品价格为，，由题意知，即．故．因

8、为销售量与多售出件数的关系是，所以，解得，从而收益与多售出件数的函数关系式为．4．收音机每台销售为90元，成本为60元，厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元．(1)将每台的实际售价表示为订购量的函数；(2)将厂方所获的利润表示成订购量的函数；(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多