高代2考试试卷.doc

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1、试卷1一、填空题(每小题3分,共15分)1、若二次型是正定二次型，则t的取值范围是。2、线性空间P[x]n中的向量f(x)，在基下的坐标是。3、n维线性空间V的数乘变换A：在基e1，…，en下的矩阵是　。4、已知方阵A的不变因子是1、1、，则A的若当标准形是　　。5、设l是正交变换A的特征值，则l=。二、选择题(每小题3分,共15分)1、若二次型经非退化线性替换变为二次型，则下列（）不成立。（A）A与B秩相等（B）A与B相似（C）A与B合同（D）A与B等价2、设V1和V2是n维线性空间V的两个子空间，若和V1+V2是直和，则（

2、）。（A）维(V1)+维(V2)=n（B）维(V1)+维(V2)<维(V1+V2)（C）维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)（D）维(V1)+维(V2)>维(V1+V2)3、在P[x]的下列变换中，（）不是线性变换。（A）A(f(x))=（B）A(f(x))=f/(x)（C）A(f(x))=[f(x)]2（D）A(f(x))=f(x+x0)（x0是P中固定的数）4、在下列条件中，（）不是两个同级复矩阵A与B相似的充分必要条件。（A）lE-A与lE-B等价（B）A与B有相同的特征多项式（C）A与B有相同的不变因子（D）A与B

3、有相同的初等因子5、设a=(x1，…，xn)，b=(y1，…，yn)是Rn中的向量，Rn关于内积（）不构成欧氏空间。（A）(a，b)=x1y1+x2y2+…+xnyn（B）(a，b)=-x1y1-x2y2-…-xnyn（C）(a，b)=x1y1+2x2y2+…+nxnyn（D）(a，b)=n(x1y1+…+xnyn)三、本题满分14分已知二次型，求正交线性替换X=TY，把化为标准形。四、本题满分12分已知是3维线性空间V的一组基，，，。（1）证明，也是V的一组基；（2）若V中的向量在基下的坐标为(3，2，1)，求在基下的坐标。

4、五、本题满分10分设P3的线性变换A把P3的基a1=(1，0，0)，a2=(2，1，0)，a3=(1，1，1)变为基b1=(1，2，-1)，b2=(2，2，-1)，b3=(2，-1，-1)，求A在基和基下的矩阵．六、本题满分10分设齐次线性方程组，（1）求解空间W；（2）求W在R4中的正交补W^．七、本题满分6分设A为n级正定矩阵，B是n级实反对称矩阵，证明：A-B2是正定矩阵。八、本题满分6分设V1和V2都是线性空间V的子空间，若V1∪V2也是V的子空间，则V1∪V2=V1+V2．九、本题满分6分设A是线性空间V的线性变换，

5、证明，A2=q(零变换)的充分必要条件是AVÍA-1(0)。十、本题满分6分设a，b是欧氏空间V中两个向量，若

6、a

7、=

8、b

9、，证明a+b与a-b正交．并在R2中说明几何意义．试卷2一、填空题(每小题3分,共18分)1、已知实二次型的正惯性指数等于3，则的取值范围是。2、已知的向量，，，，则=。3、设在欧氏空间向量与的夹角为，则=。4、设方阵的不变因子为1，1，，则的若当标准形为。5、的微商变换在基下的矩阵是。6、中的向量在基下的坐标为。二、选择题(每小题3分,共18分)1、设是元实二次型，则（）是正定的必要条件，但不是充分条件

10、。（A），有；（B）矩阵的各阶顺序主子式都大于0（C）矩阵的行列式大于0（D）矩阵的特征值都大于02、设是正交矩阵，则（）不一定是正交矩阵（A）（是实数）（B）（C）（D）3、设是维欧氏空间的子空间，若，则（）。（A）维(V1)+维(V2)=n（B）维(V1)+维(V2)<维(V1+V2)（C）维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)（D）维(V1)+维(V2)>维(V1+V2)4、设是欧氏空间的线性变换，（）不是为正交变换的充分必要条件。（A）（B）（C）（D）5、在下面所定义的变换中，（）不是线性变换。（A）在中，（B）在

11、中，，其中，是一固定的数（C）把复数域看作复数域上的线性空间，（D）在中，，其中是两个固定的矩阵6、设是数域上维线性空间，={

12、是的线性变换}，则与下列中的（）同构．（A）（B）（C）（D）三、本题满分12分已知二次型，求正交线性替换，把化为标准形。四、本题满分8分在中，求基，，到基，，的过渡矩阵，并求向量在这两个基下的坐标。五、本题满分8分已知，，求，使是的标准正交基。六、本题满分8分设是数域，，证明是的子空间，并求的一组基和维数。七、本题满分6分设是线性空间上的线性变换，，，但。证明（1）的维数为。（2）是的不变子空间。八

13、、本题满分6分设是维线性空间的线性变换，则可逆Û九、本题满分8分设矩阵，（1）证明x不论取何值，A都不可能是正定矩阵。（2）x取何值时，A为正交矩阵。十、本题满分8分设是欧氏空间一单位向量，，定义：，（1）证明是的线性变换。（2）当取何值时，是正交变换，并讨论的类型。试卷3一