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时间:2020-05-21
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1、试卷1一、填空题(每小题3分,共15分)1、若二次型是正定二次型,则t的取值范围是。2、线性空间P[x]n中的向量f(x),在基下的坐标是。3、n维线性空间V的数乘变换A:在基e1,…,en下的矩阵是 。4、已知方阵A的不变因子是1、1、,则A的若当标准形是 。5、设l是正交变换A的特征值,则l=。二、选择题(每小题3分,共15分)1、若二次型经非退化线性替换变为二次型,则下列()不成立。(A)A与B秩相等(B)A与B相似(C)A与B合同(D)A与B等价2、设V1和V2是n维线性空间V的两个子空间,若和V1+V2是直和,则(
2、)。(A)维(V1)+维(V2)=n(B)维(V1)+维(V2)<维(V1+V2)(C)维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)(D)维(V1)+维(V2)>维(V1+V2)3、在P[x]的下列变换中,()不是线性变换。(A)A(f(x))=(B)A(f(x))=f/(x)(C)A(f(x))=[f(x)]2(D)A(f(x))=f(x+x0)(x0是P中固定的数)4、在下列条件中,()不是两个同级复矩阵A与B相似的充分必要条件。(A)lE-A与lE-B等价(B)A与B有相同的特征多项式(C)A与B有相同的不变因子(D)A与B
3、有相同的初等因子5、设a=(x1,…,xn),b=(y1,…,yn)是Rn中的向量,Rn关于内积()不构成欧氏空间。(A)(a,b)=x1y1+x2y2+…+xnyn(B)(a,b)=-x1y1-x2y2-…-xnyn(C)(a,b)=x1y1+2x2y2+…+nxnyn(D)(a,b)=n(x1y1+…+xnyn)三、本题满分14分已知二次型,求正交线性替换X=TY,把化为标准形。四、本题满分12分已知是3维线性空间V的一组基,,,。(1)证明,也是V的一组基;(2)若V中的向量在基下的坐标为(3,2,1),求在基下的坐标。
4、五、本题满分10分设P3的线性变换A把P3的基a1=(1,0,0),a2=(2,1,0),a3=(1,1,1)变为基b1=(1,2,-1),b2=(2,2,-1),b3=(2,-1,-1),求A在基和基下的矩阵.六、本题满分10分设齐次线性方程组,(1)求解空间W;(2)求W在R4中的正交补W^.七、本题满分6分设A为n级正定矩阵,B是n级实反对称矩阵,证明:A-B2是正定矩阵。八、本题满分6分设V1和V2都是线性空间V的子空间,若V1∪V2也是V的子空间,则V1∪V2=V1+V2.九、本题满分6分设A是线性空间V的线性变换,
5、证明,A2=q(零变换)的充分必要条件是AVÍA-1(0)。十、本题满分6分设a,b是欧氏空间V中两个向量,若
6、a
7、=
8、b
9、,证明a+b与a-b正交.并在R2中说明几何意义.试卷2一、填空题(每小题3分,共18分)1、已知实二次型的正惯性指数等于3,则的取值范围是。2、已知的向量,,,,则=。3、设在欧氏空间向量与的夹角为,则=。4、设方阵的不变因子为1,1,,则的若当标准形为。5、的微商变换在基下的矩阵是。6、中的向量在基下的坐标为。二、选择题(每小题3分,共18分)1、设是元实二次型,则()是正定的必要条件,但不是充分条件
10、。(A),有;(B)矩阵的各阶顺序主子式都大于0(C)矩阵的行列式大于0(D)矩阵的特征值都大于02、设是正交矩阵,则()不一定是正交矩阵(A)(是实数)(B)(C)(D)3、设是维欧氏空间的子空间,若,则()。(A)维(V1)+维(V2)=n(B)维(V1)+维(V2)<维(V1+V2)(C)维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)(D)维(V1)+维(V2)>维(V1+V2)4、设是欧氏空间的线性变换,()不是为正交变换的充分必要条件。(A)(B)(C)(D)5、在下面所定义的变换中,()不是线性变换。(A)在中,(B)在
11、中,,其中,是一固定的数(C)把复数域看作复数域上的线性空间,(D)在中,,其中是两个固定的矩阵6、设是数域上维线性空间,={
12、是的线性变换},则与下列中的()同构.(A)(B)(C)(D)三、本题满分12分已知二次型,求正交线性替换,把化为标准形。四、本题满分8分在中,求基,,到基,,的过渡矩阵,并求向量在这两个基下的坐标。五、本题满分8分已知,,求,使是的标准正交基。六、本题满分8分设是数域,,证明是的子空间,并求的一组基和维数。七、本题满分6分设是线性空间上的线性变换,,,但。证明(1)的维数为。(2)是的不变子空间。八
13、、本题满分6分设是维线性空间的线性变换,则可逆Û九、本题满分8分设矩阵,(1)证明x不论取何值,A都不可能是正定矩阵。(2)x取何值时,A为正交矩阵。十、本题满分8分设是欧氏空间一单位向量,,定义:,(1)证明是的线性变换。(2)当取何值时,是正交变换,并讨论的类型。试卷3一
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