对数函数讲义.doc

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1、2.2对数函数一、对数的概念：如果＝N(＞0且≠1)，那么数x叫做以为底N的对数，记作x＝，其中叫做对数的底数，N叫做真数。（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log10N简记为lgN，如：log105记为lg5（2）自然对数：把以无理数（e＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，logeN简记为lnN，如：loge5记为ln5。性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即loga1＝0；（3）底数的对数等于1，即logaa＝1例1：求下列各式中的x（1）logx27＝（2）x

2、＝log27（3）log5(log2x)＝0【解析】：（1）∵logx27＝∴＝＝27＝∴＝3∴x＝9（2）∵x＝log27∴＝∴＝＝∴3x＝－2∴x＝－（3）∵log5(log2x)＝0∴log2x＝1∴x＝2变式练习：解下列方程（1）log64x＝－（2）logx4＝2（3）lg2x－lgx－2＝0【解析】：（1）（2）2（3）或1000二、对数运算性质【如果a＞0且a≠1；M＞0，N＞0，m、n∈R】（1）loga(MN)＝logaM＋logaN（2）loga＝logaM－logaN（3）loga

3、Mn＝nlogaM[＝logab]（4）对数恒等式（5）logab＝＝＝(c＞0且c≠1)换底公式（6）logab＝例2：计算（1）lg12.5－lg＋lg（2）lg5＋lg8＋lg5×lg20＋lg22（3）×【解析】：（1）原式＝lg(12.5××)＝lg10＝1（2）原式＝lg5＋lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg25＋lg22＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2（3）原式＝＝＝14【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301

4、，lg5≈0.699】变式练习1：计算下列代数式的值。（1）lg1421g；（2）；（3）（4）；【解析】：（1）：；（2）；（3）=．（4）原式=；变式练习2：计算：＋的值为（）A：4B：1C：－4D：－1【解析】：＋＝＝＝＝＝＝－4C例3：×＋【解析】（1）原式=．变式练习1：计算：(＋＋)×(＋＋)【解析】：13变式练习2：已知log189＝，18b＝5，求log3645的值。【解析】：＝，则log3645＝＝＝＝＝＝例4：解方程lg(x＋5)2＝2【解析】：∵lg(x＋5)2＝2∴2lg｜x＋5

5、｜＝2∴lg｜x＋5｜＝1，即｜x＋5｜＝10∴x＝5或x＝－15变式练习1：已知＝0，那么等于（）A：B：C：D：变式练习2：若实数x满足(－)＝－，则x＝________。【解析】：15＝，得＝，x＝－5(舍去)或x＝15三、对数函数概念：函数f(x)＝（＞0且≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，＋∞）例5：求下列函数的定义域（1）f(x)＝log2(x－2)（2）f(x)＝【解析】：（1）x－2＞0解之得x＞2（2）解之得x＞－3且x≠－2变式练习1：（1）f(x)＝（2）f(

6、x)＝（3）f(x)＝【解析】：（1）x＞1且x≠3（2）(1，2)（3）－3＜x≤1且x≠－2变式练习2：已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)A：{x︱x＞－1}B：{x︱x＜1}C：{x︱－1＜x＜1}D：【解析】：C四、对数函数的图象与性质底数：a＞1底数：0＜a＜1定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)恒过定点（1，0）在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数当x＞1，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1，y＜0当x＜1，y＞0（1）

7、底数互为倒数，两对数函数图象关于x轴对称（2）当a＞1在第一象限底数越大，图象越靠近x轴，在第四象限底数越大越靠近y轴；当0＜a＜1在第四象限底数越小越靠近x轴，在第一象限底数越小靠近y轴。【小大小大】（3）当a＞1，log2a＞log5a＞log0.2a＞log0.5a；反之若：当0＜a＜1，log0.5a＞log0.2a＞log5a＞log2a例6：比较大小（1）__________（2）_____（3）______（4）______【解析】：＜＞＞＞变式练习1：实数，，的大小关系是________

8、______。【解析】＞＞变式练习2：如图是三个对数函数的图像，则、、的大小关系是（）A：＞＞B：＞＞C：＞＞bD：＞＞【解析】：D变式练习3：关于x不等式＞的解集为_______________。【解析】：解之得：－＜x＜变式练习4：求解关于x不等式＜1。【解析】：(0，)∪(1，＋∞)例7：已知函数f(x)＝，则f[f(－2)]＝_____________。【解析】：f[f(－2)]＝f()＝f()＝lg＝－2变式练习1：已知函数函数f