威布尔分布尺度参数的最佳双边检验.pdf

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1、第31卷第8期重庆工商大学学报(自然科学版)2014年8月V01．3lN0．8JChongqingTeehnolBusinessUniv．(NatSciEd)Aug．2014文章编号：1672-058X(2014)08—0001—04威布尔分布尺度参数的最佳双边检验冰．姜培华(安徽工程大学数理学院，安徽芜湖241000)摘要：众所周知，假设检验中有两类错误，即弃真和受伪的错误．传统检验方法拒绝域临界点的选取都是以尾部概率相等为准，这种方法得到的拒绝域使得犯第二类错误的概率累积值并非最小．此处从理论上推求给出威布尔分布尺度参数在犯第二类错误

2、的概率累积最小意义下的最佳双边检验，并结合实例说明了最佳双边检验较传统双边检验的优越性．关键词：威布尔分布；尺度参数；双边检验；最佳双边检验中图分类号：0212．1文献标志码：A数理统计的基本问题之一是统计推断，而统计假设检验是统计推断的重要内容．在正态总体的情形下有多种经典的参数估计和检验方法，文献[1．2]已有叙述．但在实际问题中常会遇到总体服从非正态情形下的统计推断问题，如伽玛分布(包括指数分布)、F分布、瑞利分布和威布尔分布等，对于前三种分布的研究可见文献[3-6]；文献[7]中研究了威布尔分布参数的最高后验概率密度区间估计；对非

3、正态总体参数的估计尤其是最短区间估计的研究也较多，如文献[2—5]和[7-9]．假设检验中存在两类错误，即弃真和受伪的错误，传统检验方法拒绝域临界点的选取都是以尾部概率相等为基准，这种方法得到的拒绝域使得犯第二类错误的概率累积值并非最小．这种意义下对于概率密度非对称的双边检验问题，传统方法得到的拒绝域也：不是最佳的．因此在一般情形下研究总体参数的最佳双边检验尤为重要．此处首先给出威布尔分布尺度参数的一般检验方法，在此基础上研究其最佳双边检验问题．1参数的双边检验=e，>。定义2设总体X服从参数为叼，m的威布尔分布(叼，m)，若其密度函数为

4、，()=m(x1exp，、r／，(一(音))，>。；其中，m>。为形状参数,r／>0为尺度参数．收稿日期：2013-12-10；修回日期：2014—02—11．}基金项目：2012年地方高校国家级大学生创新创业训练计划项目(201210363122)；国家自然科学基金(11226218)；安徽省自然科学基金(1208085QAO4)作者简介：姜培华(1979一)，男，山东曹县人，讲师，硕士，从事概率统计和随机过程研究．2重庆工商大学学报(自然科学版)第31卷Y=∑(置／n)～r(n，1)，=2∑(置)一(2n)证明易知若设总体xN从威布尔

5、分布(，m)，则的函数Y。=(X／r1)～F(1，1)．利用伽玛分布对第一参数的可加性，可知Y=∑(置)～r(n，1)，结合文献[1]中定理2．6．4可得Y=2∑(置)～r(n，1／2)，由卡方分布和伽玛分布的关系可知i，=2∑(置)一r(n，1／2)=(2凡)．引理2"已知不完全伽玛分布函数为l(x，z)=(z)=』￡e～dt，则有1)(1)当2z为整数时，有()=1一e∑；(2)当2z为非负整数时，有(2z)=([2z])+[([2z]+1)一([2z])](一[2z])，其中[2z]为2z的整数部分．定理1设总体X服从威布尔分布W(

6、rl，m)(形状参数m已知)，X，X：，⋯，X为来自该总体的样本，在显著水平下检验假设H。：rl=rI。；H。：rl#rl。的双边检验的等尾拒绝域为={n(Xi／rto)≤争；(2n)或n(Xi／rlo)≥12。一号(2n))其中(2n)表示概率分布(2n)的下侧分位数．证明构造统计量=2∑(／n)，由引理1知2∑(置／n)～(2)，对于给定的显著水平，检验假设H0：rl=rl。；H。：叼≠rl0的双边检验的等尾拒绝域为={耋(Xi／rto)≤12詈(2n)或n(Xi／rlo)≥一号(2n))2最佳双边检验由于卡方分布密度函数的非对称性，

7、因此用传统方法对威布尔分布的尺度参数叼进行检验时所得的拒绝域不是最优的．现在的目的是寻找最优的拒绝域，考虑在控制第一类错误概率的前提下尽量使得第二类错误的概率累积值越小，有下述定理．定理2设总体服从威布尔分布(，m)(形状参数m已知)，，，⋯，为来自该总体的样本，在显著水平Ol下检验假设H。：=叼。；H。：叼≠。存在惟一的最佳双边检验拒绝域={∑(／77。)≤o或∑(／。)≥b)b1l其中口，b由Ixn-1e=r(n)(1一)和口ie～=6e所确定．Ja证明最佳拒绝域的存在性：在显著水平Ol下检验假设H。：叼=。；H：叼≠叼。，选择统计量

8、F=∑(置／n)，易知当H。为真时，F=∑(置／n)～r(n，1)．记F(n，1)对应的概率分布函数和密度函数分别为为F(x，n，1)和-厂(，n，1)．对于给定的显著水平Ot，任意满足F(6