计数原理(排列组合).doc

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1、类型一：分类记数原理　　1．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）　　A.5　　　B.6　　C.7　　　D.8　　【变式1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?　　【变式2】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?　　【变式3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。　　【变式4】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外

2、2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?类型二：分步记数原理　　2．（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？　　　（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？　　解析：（1）共有4×4×4=64种不同结果.（2）共有3×3×3×3=81种不同结果.　　【变式1】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）　　【答案】18，6；　【变式2】从

3、集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【答案】32；类型三：解排列（组合）数形式的方程　　3．一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n≥1，n∈N*）个车站，因而增加了58种车票（起点站与终点站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?　　解析：由题设，即.　　　　　（1）若n=1，则2m－1+n=58，m=29；　　　　　（2）若n=2，则2m－1+n=29，m=14；　　　　　（3）若n=58，则2m－1+n=1，m=－28，不合题意，舍去.　　　　　（4

4、）若n=29，则2m－1+n=2，m=－13，不合题意，舍去；　　　所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.【变式1】解方程：（1）；（2）.类型四：排列组合常见问题及基本方法1．明确任务，分析是分类还是分步，是排列还是组合　　4．从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，求这样的不同等差数列有多少个。　　解析：设a，b，c成等差，则2b=a+c，可知b由a，c决定，又∵2b是偶数，∴a，c同奇或同偶，即从1，3，5，……，19或2，4，6，……，20这十个数中选出两个数进行排列，就可确定等差数列，因而不同等差数列有(个)　

5、5．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。　　【变式1】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有____。　　(A)240　　　(B)180　　　(C)120　　(D)60　　【答案】(一)从6双中选出一双同色的手套，有种方法；(二)从剩下的十只手套中任选一只，有种方法；(三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；(四)由于选取与顺序无关，因而(二)(三)中的选法重复一次；因而共　　【变式2】身高互不相同的

6、6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为.　　【答案】每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有。2．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑　　6．六人站成一排，求　　(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数　　(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数解析：(1)先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有种站法；第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法共种站法。(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲

7、在排尾，乙不在排头，有种方法；第三类：甲不在排尾，乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法；共种。举一反三：【变式1】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？　　【答案】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的次品有种可能；第二步：前四次有一件正品有种可能；第三步：前四次有种可能；