计数原理与排列组合.doc

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1、计数原理与排列组合计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事ｎ类办法，那么完成这件事共有N＝＋＋……＋种不同的方法.2.分步计数原理：完成一件事分成ｎ个步骤，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法.二、经典例题导讲[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有　（）A．12种B．7种　　C．24种D．49种分析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.∴应选D．[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和

2、6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.解：解法一　第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.[例5]用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？解

3、：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.　（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.　（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个四、典型习题导练1．将4个

4、不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（　　）A．种       B．种C．18种         D．36种2某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3.排列数：从ｎ个不同

5、元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号表示.4.阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式　（1）排列数公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式　　（这

6、里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质　　　　　　　　　　　　规定：　　　　　　　　　　　　二、疑难知识导析1．常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.解排列应用题的基本思路：①基本思路：直接法：即从条

7、件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.三、经典例题导讲元素多于位置[例1]10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？分析：原问题抽象为从10个元素中

8、作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有＝151200种坐法.捆绑法和插入法的应用[例4]4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定