计数原理(排列组合)练习

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1、数学高考总复习：记数原理知识网络　　　　　　　　知识要点梳理知识点一：加法原理和乘法原理　　1．加法原理，又叫分类计数原理：完成一件事，有n类方法：在第一类方法中有种不同的方法，在　　　第二类方法中有种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共　　　有：　　　种不同的方法.　　2．乘法原理，又叫分步计数原理：完成一件事需n个步骤，做第一步有种不同方法，做第二步有　　　种不同方法，……，做第n步有种不同方法，则完成这件事共有：种不　　　同的方法.　　3．加法原理与乘法原理区别与联系　　（1）加法原理中每一种方法就可以完成这件事.乘法原理中每一种方法无法完成这件事，只

2、有当各个　　　　步骤中的每一步都完成，才能完成这件事；　　（2）加法原理中类与类是独立的，乘法原理中步与步是连续的。　　（3）两个原理是理解排列与组合的概念，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完　　　　成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件　　　　事可分几类办法和需要分几个步骤。　　4．利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序应是：首先明确要完成的事件是什么；然后考虑如何　　　完成，是分类，还是分步？还是先分类，在每一类里再分步？等等；最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？知识点二：排列　　1．定义：从n个不同元素中，任取

3、m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素　　　中取出m个元素的一个排列.　　　注意：（1）排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排成一列.”这里“一定顺序”指每次取出的元素与它所排“位置”有关.所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否是排列问题的标准.　　（2）只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.　　2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排　　　列数，记为。　　　知识点三：组合　　1．定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素

4、合成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一　　　个组合.　　2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的组　　　合数，记为。　　　　　3．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数与从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数唯一　　　差别就在于对“序”的考虑，由此也就得到从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数与从n个　　　不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数的关系的两个基本解释：　　　（1）由任何一个含m个元素的组合都可以进一步对m个元素做全排列，得到个含m个元素的　　　　　　排列，即。　　　（2）全体含m个

5、元素的排列可以按元素异同分成若干类，每一类中恰有个元素，于是类数恰为　　　　　　。　　4.组合数有两个重要关系：　　（1）；　　（2）类型一：分类记数原理　　1．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）　　A.5　　　B.6　　C.7　　　D.8举一反三：　　【变式1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?　　【变式2】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?　　【变式3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利

6、于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。　　【变式4】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?类型二：分步记数原理　　2．（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？　　　　　　（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？　　解析：　　（1）完成这件事分三步：　　　　第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；　　　　第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结

7、果；　　　　第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.　　　　则共有4×4×4=64种不同结果.　　（2）完成这件事情分四步:　　　　第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；　　　　第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；　　　　第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.　　　　则共有3×3×3×3=81种不同结果.　　总结升华：弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和