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1、卷积的物理意义卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?卷积表示为y(n)=x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2)andsoon;这是系统响应出来的信号。同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...andsoon;其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为
2、我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,
3、只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的ﻪ“残留影响”有关。当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不
4、得不说是数学的巧妙和迷人之处了。对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算而已。就跟“蝶形运算”一样,怎么证明,这是数学系的人的工作。在信号与系统里,f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t)的卷积积分求解得,即y(t)=f(t)*h(t)。学过信号与系统的都应该知道,时域的卷积等于频域的乘积,即有ﻪY(s)=F(s)×H(s)。(s=jw,拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式)有一点你必须明白,在通信系统里,我们关心的以及要研究的
5、是信号的频域,不是时域,原因是因为信号的频率是携带有信息的量。所以,我们需要的是Y(s)这个表达式,但是实际上,我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式,但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t),所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系,就要用到卷积运算。复频域s=jw,当中的j是复数单位,所以使用的是复频域。通俗的解释方法是,因为系统中有电感X=jwL、电容X=1/jwC,物理意义是,系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减,即这种衰减是发生在频域的,所以为了与时域区别,引入复数的运算。但是在复频域ﻪ计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL、K
6、VL、叠加法。负的频率之所以会出现负的频率,这只是数学运算的结果,只存在于数学运算中,实际中不会有负的频率。卷积的过程就是相当于把信号分解为无穷多的冲击信号,然后进行冲击响应的叠加。以下我们举四个现实生活的例子来理解卷积的物理意义:例1:有一个七品县令,喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖,而且有个惯例:如果没犯大罪,只打一板,释放回家,以示爱民如子。有一个无赖,想出人头地却没啥指望,心想:既然扬不了善名,出恶名也成啊。怎么出恶名?炒作呗!怎么炒作?找名人呀!他自然想到了他的行政长官——县令。无赖于是光天化日之下,站在县衙门前撒了一泡尿,后果是可想而知地,自然被
7、请进大堂挨了一板子,然后昂首挺胸回家,躺了一天,嘿!身上啥事也没有!第二天如法炮制,全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面,第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来,还喜气洋洋地,坚持一个月之久!这无赖的名气已ﻪ经和衙门口的臭气一样,传遍八方了!县令大人噤着鼻子,呆呆地盯着案子上的惊堂木,拧着眉头思考一个问题:这三十个大板子怎么不好使捏?......想当初,本老爷金榜题名时,数学可是得了满分,今天好歹要解决这个问题:——人(系统!)挨板子(脉冲!)以后,会有什么表现(输出!)?——费话,疼呗!——我问的是:会有什么表现?——看疼到啥程度。像这无赖的
8、体格,每天挨一个板子啥事都不会有,连哼一下都不可能,你也看到他那得
