卷积,具有丰富多彩的物理意义

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1、卷积，具有丰富多彩的物理意义数学里有一种运算，叫做卷积。科学网上有个栏目，叫《大话卷积》。俺也来凑个热闹，欢迎用功夫的拍砖！卷积是解决晶体结构离不开的计算手段，就像自然界的晶体是丰富多彩的一样，卷积的物理意义也是丰富多彩的。如果你想休会卷积的奥妙，那就从晶体（X射线衍射）学入门吧！数学里的加法强烈要求两个量的单位（量纲）相同。例如，2只羊+3只羊=5只羊。如果把题目修改为：2只羊+3头牛=?显然，数学家找不到以上题目的答案，除非把题目本身作为答案。物理学家使用卷积可以把这个题目做出来。（注意，俺没有贬低数学家的意思，卷积就是这个样子，在数学里显得干瘪，在

2、物理学里却血肉丰满）再举一个经典的例子，密立根测定电子电荷的时候，得到一个公式：Q=ne,式中Q为油滴的电荷，可以测量；n是一个未知的整数，e也是一个未知数。一个方程里有两个未知数，数学家解不了这个方程，作为物理学家的密立根却解出了这个方程，第一次求出了电子电荷。不过密立根为了求解这个方程，前后用了大约11年的时间，因此获得了诺贝尔物理学奖。正如《大话卷积》栏目的儿位傅主们所说，讲卷积离不开傅立叶变换。用信号处理来说明傅立叶变换，根本不能充分显示傅立叶变换的妙处。在晶休衍射里，傅立叶变换关联着两个完全不同的空间：现实的笛卡儿空间和倒易的衍射空间。v,z）

3、二2m力,七,/）exp（-2z7ihx+ky+Iz））（1）F(KkJ)=hkl〜*XX■■s)expt-2/>r(hx+An*+h)}dxdvdz丄...是晶体笛卡儿空间的电子密度，可以描述原子；F（h.k.r）是和晶体结构有关的结构因子，可以描述倒易空间的衍射斑点（花样人"由此可见，p[x.y^和尸仇北/）的关系满足傅立叶变换。"图1笛卡儿空间和倒易衍射空间的傅立叶变换我们知道数学里的矩阵，它的物理意义也是很丰富的。例如，魔方的转动可以用矩阵来描述，魔方的状态也可以用矩阵来描述。显然，转动是一种操作，而状态就是魔方的图案。对于卷积也是一样的。在

4、数学里，卷积只是一种运算。但是这种运算可以表达的物理意义是丰富多彩的。在品体X射线衍射屮，实验测量出的衍射峰的线形/z,包括两部分：品体的贡献/和衍射仪器的贡献g,h、/和g三者的关系满足卷积运算：ConvolutionfunctionrOOh(x)=f(x)®g(x):=/-xf)dxfConvolutiontheoremJ—oo丁0g)=Zf(/)•丁F(g)■g)=7f(/)0Fouriertransformoftheconvolutionh(x)=f(x)<^g(x)istheproductoftheindividualFouriertransf

5、orms(andviceversa)图2卷积定义和卷积定理晶体对衍射（线形）的贡献+仪器对衍射（线形）的贡献，这就是一种物理学的“加法”，相当于“2只羊+3头牛”。从数学上很难理解“2只羊+3头牛”的命题，但是从物理学却很好理解，因为物理学可以把2只羊和3头牛理解为都是由分了组成的，这样描述2只羊的单位和描述3头牛的单位就一样了，都是分了单位。满足严格的数学要求。DoubleSlitbyConvolutiong(x-x)h(x)图3卷积可以描述一个过程ConvolutionofTop-Hats一^Triangle■w.阳sjhceug(x-x)■II—・

6、f(x)f(x)h(x)h(x)Tinsisaself-convolutionorAutocorrelationfunction图4卷积可以描述一个过程这两个是经典的衍射问题，信号处理口J能会遇到类似的问题。图5（点阵+基元〉就可以卷积出晶体图6两个1维点阵可以卷积出一个二维点阵根据公式（1）和公式（2）,再考虑到卷积的定义和卷积定理，这是可以理解的。（图2、图3和图4来自外国教授讲光学的PPT；图5和图6来自一个外国教授讲晶体衍射的PPT；俺使用了他们的原图索材，在此算是一个致谢！）