2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_7_3球学案北师大版必修2.docx

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1、7.3　球1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．(2)球的截面性质①球的截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关系：r＝.2．球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点．(2)过球外一点的所有切线的长度都相等．3．球的表面积和体积(1)球的表面积公式S球面＝4πR2(R为球的半径)．(2)球的体积公式V球＝πR3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，

2、则其表面积之比为1∶9.(　　)(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)(3)用任意平面截球，所得截面都是圆．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√题型一球的表面积和体积【典例1】　(1)球的体积是，则此球的表面积是(　　)A．12πB．16πC.D.(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．[思路导引]　(1)求球的半径是求球表面积与体积的关键．(2)利用体积相等，求大球半径．[解析]　(1)πR3＝，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.(2)两个小铁球的体积为2×π×13＝，即大铁球的

3、体积为π×R3＝，所以半径为.[答案]　(1)B　(2)解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[针对训练1]　(1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　)A．2倍B．2倍C.倍D.倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是

4、(　　)A.B.C.D.[解析]　(1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的倍，体积扩大到原来的2倍．(2)设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a2＝4πR2.则＝，则＝·3＝.[答案]　(1)B　(2)A题型二球的截面【典例2】　在球内有相距9cm的两个平行截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求此球的表面积．[思路导引]　用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形．[解]　(1)若两截面位于球心的同侧．解法一：如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径

5、为Rcm，截面圆的半径分别为rcm，r1cm.由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝＝，在Rt△OBC中，OC＝＝.由题意可知OC1－OC＝9，即－＝9，解此方程，取正值得R＝25.解法二：同解法一，得OC＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25cm.(以下略)

6、(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝，OC＝.由题意可知OC1＋OC＝9，即＋＝9.整理，得＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．[针对训练2]　把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是(　　)A．1B．2C．1或7D．2或6[解析

7、]　画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝＝4，n＝＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.[答案]　C题型三与球有关的切和接问题【典例3】　(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[思路导引]　(1)长方体的体对角线即是外接

8、球的直径．(2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键．[解析]　(1)长方体的体对角线是其外