2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_2直观图学案北师大版必修2.docx

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1、§2　直观图1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.2．立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′

2、和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形．(　　)(2)平行四边形的直观图仍是平行四边形．(　　)(3)两条相交直线的直观图可能是平行直线．(　　)(4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×题型一水平放置的平面图形的直观图【典例1】　画出如图水平放置的直角梯形的直观图．[思路导引]　充分利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．[解]　(1)在已知的直角

3、梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画

4、与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[针对训练1]　按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[解]　画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.(4)连接A′B′

5、，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．题型二直观图的还原与计算角度1：由直观图还原成平面图形【典例2】　如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________．[思路导引]　根据斜二测画法的规则还原成平面图形即可．[解析]　如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝

6、OC，故四边形OABC是菱形．[答案]　菱形　由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[针对训练2]　如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　　)[解析]　由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．[答案]　A角度2：原图形与直观图的面积计算【典例3】　一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形

7、，则原平面图形的面积为(　　)A.a2B．2a2C．a2D．2a2[思路导引]　先还原成原图形，再计算面积．[解析]　由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积．所以S＝a·2a＝2a2.[答案]　B(1)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解．(2)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝2S′.[针对训练3]　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状

8、，并求出原图形的面积．[解]　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过