2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步复习课学案北师大版必修2.docx

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1、复习课(二)　解析几何初步一、直线与方程我们是如何建立直线的点斜式方程的？你能总结建立这个方程的一般步骤吗？写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中系数的几何意义．结合直线方程一般式的讨论，体会分类讨论的思想；选择合适的分类标准，使讨论不重不漏．【典例1】　光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程是(　　)A．y＝x－　　　　　B．y＝2x＋C．y＝x＋D．y＝x＋1[解析]　解法一：解方程组得交点P(－1，－1)，如图，在入射线y＝2x＋1上任取一点A(1,3)，A点关于直线y＝x的对称点为B，则B点的坐标为(3,1)，由光学知

2、识可知反射线经过P、B两点．∴反射光线的方程是＝即y＝x－.选A.解法二：解方程组得交点P(－1，－1)．由于入射线的斜率等于2大于1，所以反射线的斜率必小于1，过点P(－1，－1)且斜率小于1的反射线所在直线方程的纵截距必小于0，从而排除B、C、D，选A.[答案]　A本题主要应用直线的斜率、倾斜角、截距、两直线所成的角及轴对称等概念．解法一是应用光学知识和轴对称概念而求解的；解法二是由已知条件判断反射线的纵截距必为负值，从而用排除法求解的．二、求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二

3、步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．第四步：代入圆的方程．【典例2】　根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程．[解]　(1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由解得∴圆心C(7，－3)，半径为r＝

4、AC

5、＝.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(2)解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝，圆心(

6、a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝.由半弦长、弦心距、半径组成直角三角形，得d2＋2＝r2，即＋8＝10，∴(a－b)2＝4.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

7、AB

8、＝＝＝4，∴(x1＋x2)2－4x

9、1x2＝16.∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2.又∵b＝2a，∴或∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．三、直线与圆的位置关系讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如直线与圆相交求

10、弦长时，利用公式2＋d2＝r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用．【典例3】　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．[解]　(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知，＝2

11、，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴2＋2＝4，解得a＝－.当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(