2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_2_1圆的标准方程学案北师大版必修2.docx

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1、2．1　圆的标准方程1．确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了．2．圆的标准方程已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径．(　　)(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.(　　)(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点

2、在圆上和点在圆外．(　　)(4)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圆心坐标为(－1,2)，半径为m.(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×题型一点与圆的位置关系【典例1】　已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[思维导引]　不在圆的内部，即在圆上或在圆外，即到圆心的距离大于等于半径．[解]　由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，∴a的取值范围是∪(0，＋∞)．判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y

3、－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：(1)当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆外．[针对训练1]　点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．在圆外　　　　　　B．在圆内C．在圆上D．不确定[解析]　把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．[

4、答案]　A题型二求圆的标准方程【典例2】　求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．[思路导引]　由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x＋y－2＝0的交点，可通过解方程组求出圆心坐标．[解]　解法一：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴

5、CA

6、＝

7、CB

8、.∴＝，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝

9、CA

10、＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.解法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，所

11、以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．[针对训练2]　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(

12、y－2)2＝25(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为__________________．[解析]　(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为

13、AB

14、＝＝5，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.[答案]　(1)D　(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25题型三圆的标准方程的应用【典例3】　已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车

15、能不能驶入这个隧道？[思路导引]　首先建立适当的坐标系，将现实问题转化为数学问题．[解]　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．　将x＝2.7代入，得y＝＝<3.即在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．[引申探究]　一辆卡车宽1.6m要经过半径为3.6m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷顶距地面的高度不得超过(　　)A．1.4m　　B．3.5m　　C．3.6m　　D．2.0m[解析]　如图，建立直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2

16、＝3.62(y≥0)，当x＝0.8时，y＝≈3.5(m)．故选择B.[答案]　B　求曲线方程的一般步骤(1)