且每三个圆不相交于同一点,求证这个圆把平面分成个.doc

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1、5．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这个圆把平面分成个部分。分析：关键是清楚时比时，区域增加了几块。仔细推敲，题中第个圆被原来的个圆分成条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了个部分，于是问题得到解决。证明：（1）当时，一个圆把平面分成两部分，，命题成立；（2）假设时，命题成立，即个圆把平面分成了个部分；则当时，这个圆中的个圆把平面分成了个部分，第个圆被前个圆分成条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了个部分，即个圆把平面分成：个部分，即当时命题成立由（1）（2）可知，对任意的命题都成立。点评：几何问题的证

2、明应在直观图形的基础上仔细推敲。本题中，不能错误的认为第个圆被前个圆分成段弧或分成段弧。6．当时，证明：可将任一正三角形分成n个等腰三角形。分析：本题适宜用先归纳再证明的方法．时结论是显然的．值得关注的是时，如图的分割中出现了一个等腰直角三角形，紧盯着这个＂等腰直角三角形＂可发现递推关系就在其中．问题就容易多了．304560证明：（1）当时，分割是很容易的，如图所示。当时，如图的分割中出现了等腰直角三角形，这是个很有用的结论。事实上，等腰直角三角形斜边的中线可把原三角形分成两个等腰直角　　　（２）假设时，结论成立。即可将一个正三角形分成个等腰三角形．由于且每次分割都至少有一个

3、等腰直角三角，做该等腰三角形斜边上的中线，可分为两个等腰三角形．于是得到了个等腰三角形．即时，命题也成立．由（１），（２）知，命题当时都成立．评注：本题思路：“先归纳，再证明”。在的分割中得到的“等腰直角三角形”是寻找“递推关系”的突破口。可见正确选取初值来验证也是十分必要的。其实本题的分割也可如右图。（三）“观察—归纳—猜想—证明”1．7.数列的前项的和与满足:,试求的通项公式.分析:数列的特点和类型是不明确的，这就需要探索和研究，“归纳法”将会让我们发现规律。解.由题设得:,解得.把代入解得,把代入解得….由此猜想用数学归纳法证明如下:(1)当时,已证.(2)假设时,猜想

4、成立,即有则当时,由化简得于是即猜想也成立.由(1)、(2)可知对任意有评注：牛顿说：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现”。合情合理的猜想会让我们发现真理。归纳为猜想提供了基础和依据，猜想是归纳的一次质的飞跃。猜想的结果是否正确，需要用数学归纳法加以证明。“观察—归纳—猜想—证明”是一种重要的科学研究方法。