数学培优竞赛新方法(九年级)第19讲圆中比例线段.doc

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1、第19讲圆中比例线段知识纵横角在圆中能灵活转化,为寻找构造相似三角形,得到比例线段提供了可能;而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,其本质是与比例线段相关。相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。1、相交弦定理如图①,若圆内两条弦、交于点,则。2、切割线定理如图②,若从圆外一点引圆的切线,和割线,则。3、割线定理如图③,若从圆外一点引圆的两条割线、,则。POCDABAOPBTAOPBCD例题求解【例1】如图,已知是的直径,弦与交于点,过点作圆的切线与的延长线交于点,若,,点为的中点,则_______.(2011年全国初中数学联赛题)思路点

2、拨设法求出,的长,可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。【例2】如图,在平行四边形中,过、、三点的圆交于点,且与相切,若则的长为()。A.3B.4C.D.(全国初中数学联赛题)思路点拨连、,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创造条件。【例3】如图,已知是的外接圆,是的直径,是劣弧的中点,交于点。(1)求证:;(2)若求的长。(泸州市中考题)思路点拨对于(1),只需证明∽。【例4】如图,已知为的直径且,是的一条弦,直线交直线于点,(1)求证:直线是的切线;(2)求的值。(2011年呼和浩特市中考题)思路点拨对于(1),恰当连线,为已知条件的运用创设条件;对于(2)将

3、问题转化求线段的比值。【例5】如图,是半圆O的直径,D是弧中点,四边形的对角线、交于点。(1)求证:;(1)若求弦和直径的长。(天津市竞赛题)分析由条件延长、交于一点,向形外作辅助线,为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。寻找不变性【例6】如图,是半圆O的直径,射线、为半圆O的切线。在上取一点,连接交半圆于点,连接。过O点作的垂线,垂足为点,与相交于点过点作半圆O的切线,切点为,与相交于点。(1)求证:∽;(2)求证:当D在上移动时(A点除外),点始终是线段的中点。(2011年潍坊市中考题)思路点拨对于(2),即要证明不妨从比例线段入手,能发现图中多对相似三角

4、形是证题的关键。学力训练基础夯实1、如图,已知、、、是上的四个点,交于点E,则的长为____________.(2011年黑龙江省中考题)2、如图,、为的两条割线,若则____________.3、如图,、是的两条线,它们相交于点,连接、,已知那么的长是___________.4、如图,在中,以为直径作圆与斜边交于点,则的长为()。A.6.4B.3.2C.3.6D.85、如图,已知为的直径,切于,切于,交的延长线于。若则的长为()。A.2B.3C.3.5D.46、如图,与的斜边切于点,与直角边交于点,且。已知则的半径是()。A.3B.4C.D.7、如图,在锐角中,是

5、最短边,以中点为圆心,长为半径作,交于,过作交于点,连接、、。(1)求证:是弧的中点;(2)求证:;(3)若,且求的长。(2012年桂林市中考题)8、如图,在圆内接四边形中,为的外角的平分线,为弧上一点,延长与的延长线交于。(1)求证:为等腰三角形;(2)求证:.(2011年黄冈市中考题)9、如图,已知是的直径,连接,弦,直线交直线于.(1)求证:直线是的切线;(2)探究线段与之间的数量关系,并加以证明;(3)求的值。(襄阳市中考题)能力拓展10、如图,已知中,以为圆心,为半径作圆交的延长线于点,则的长为___________.(太原市竞赛题)10、如图,为圆的直径

6、,若则___________.(第19届江苏省竞赛题)11、如图,是半圆的直径延长线上一点,切半圆于点,于,若,则__________.12、如图,是的内接正三角形,弦经过的中点,且,若则的长()13、如图,已知为的直径,为上一点,延长至,使,于,交于,交于,求证:.(太原市竞赛题)14、如图,已知中,以边为直径的交于点,在劣弧上取一点使,延长依次交于,交于。(1)求证:;(1)若的直径等于10,求的长。(2011宜宾市中考题)16、如图,、是的两条切线,是一条割线,是与的交点,若求的长。综合创新17、如图,圆中的三条线、、两两相交,交点分别为、、,已知,求证:是等

7、边三角形。(北京市竞赛题)18、已知:如图,以矩形的对角线的中点为圆心,长为半径作,经过、两点,过点作,垂足为。过作,分别与、、及的延长线相交于点、、、.(1)求证:;(2)如果,(为大于零的常数),求的长:(3)若是的中点,且,求的半径和的长.(2011成都市中考题)

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