数学培优竞赛新方法(九年级)_第17讲_直线与圆

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1、.....第17讲直线与圆对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。-----庞加莱知识纵横直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，已知，．是的中点，⊙O与分别相切于点与点．点是⊙O与的一个交

2、点，连并延长交的延长线于点．则=．（杭州市中考题）思路点拨连,，先求出的长。学习参考.....【例2】如图，在等腰三角形中，为底边的中点，以为圆心作半圆与相切，切点分别为．过半圆上一点作半圆的切线，分别交于．那么的值等于（　　）A.B.C.D.（天津市竞赛题）思路点拨分别从点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻与的关系式关键。【例3】如图，已知直线交⊙O于两点，是⊙O的直径，点为⊙O上一点，且平分，过作，垂足为．（1）求证：为⊙O的切线；（2）若，⊙O的直径为，求的长度．（2011芜湖市中考题）思路点拨对于（2），在（1）

3、的基础上，设，则，由角平分线性质或垂径定理建立的方程。学习参考.....【例4】如图，已知⊙O的半径为，射线经过点，，射线与⊙O相切于点．两点同时从点出发，点以的速度沿射线方向运动，点以的速度沿射线方向运动．设运动时间为．（1）求的长；（2）当为何值时，直线与⊙O相切。（南京市中考题）思路点拨对于（2），把相关线段用的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关键。学习参考.....【例5】如图，已知三角形内接于⊙O，为⊙O的切线，作交于，连接并延长交于F,求证：（太原市竞赛题）分析要证明，只需证明即可，连，将问题转

4、为证明动态思维【例6】如图，已知点，，经过两点的直线以每秒个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交轴、轴于两点，与此同时，点从点出发，在直线上以每秒学习参考.....个单位的速度沿直线向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表示点的坐标；（2）过作于，过作于，问：为何值时，以为圆心、为半径的圆与直线相切？并说明此时⊙P与直线的位置关系．（无锡市中考题）分析问题涉及平移点的运动，把相关线段用的式子表示是解题的基础，而化动为静（画出相切时图形），分类讨论（⊙P在左侧与相切）是解题的关键。学历训练基础夯实学习参考...

5、..1.如图，与⊙O相切于点,的延长线交⊙O于点，连接．若，则度．（河北省中考题）第1题第2题第3题2如图，⊙M与轴相交于，与轴相切于点，则圆心的坐标是（　　）（沈阳市中考题）3.如图，切⊙O于点，点是⊙O上一点，且，则=度．（河南省中考题）学习参考.....4.如图，直线相交于点，，半径为1cm的⊙P的圆心在射线上，开始时，．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由向的方向移动，那么当⊙P的运动时间（秒）满足条件时，⊙P与直线相交．第4题（甘肃省中考题）5.已知，与⊙O相切于，，点是圆上异于的一动点，则的度数是（　　）A．65°B．11

6、5°C．65°和115°D．130°和50°6.如图，已知两点的坐标分别为，⊙C的圆心坐标为，半径为1．若是⊙C上的一个动点，射线与轴交于点，则面积的最大值是（　　）学习参考.....A．B．C．D．第6题（苏州市中考题）第7题7.如图．⊙0的半径为2，点的坐标为．直线为⊙O的切线，为切点，则点的坐标为（　　）A.B．C．D．（威海市中考题）8.已知：如图，为⊙O的直径，为⊙O的切线，为切点，交⊙O于点，的延长线交于点，连接．以下结论：①；②点为的内心；③；④．其中正确的只有（　　）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④学习参考

7、.....第8题9.如图，直线交轴与点，交轴于点，⊙过两、两点。（1）如图①，若⊙交于点,当在上时,求弦的长。（2）如图②，当⊙与直线相切于点时，求圆心的坐标。（3）当平分的外角时，请画出图形，并求⊙的半径长。10.如图，在中，，的平分线交与点，学习参考.....交于点．（1）设⊙O是的外接圆,求证：是⊙O的切线；（2）设⊙O交于点，连接，求的值．第10题（芜湖市中考题）能力拓展11.如图，为半⊙O的直径，为半圆弧的三等分点，过，两点的半⊙O的切线交于点，若的长是，则的长是．第11题（浙江省竞赛题）12.如图，在中，，⊙O分别与

8、相切于点，圆心在上，若学习参考.....，则⊙O的半径等于．13.如图，是圆的直径的延长线上的一点，与圆相切于点，的平分线交于点Q，则=第13题第12题（四川省竞赛题）14.如图，正方形的边长为，以为直径向正方形内作半圆，与是半圆的切线，为切点，交于点．则=，的