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《九年级数学竞赛第16讲圆中的比例线段》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十六讲圆中的比例线段圜中的比例线段问题，一般是指岡幕定理以及与岡有关的和似形推证比例线段问题.下面先介绍一下圆幕定理，然后举几个例题，供同学们思考.例1(交弦定理)1员I内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.如图3-65,中两弦AB,CD相交于P点.求证：PA•PB=PC•PD.papr1证法1球•PE=FC•PDO忌=#oAAPCcoADPBoZAPDPBPC二ZDPB,ZC=ZB.最后的条件，只要连结AC,BD即可满足，因此命题得证.证法2证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PA-PB
2、为一定值，则可用勾股定理证明.为此作0E丄AB于E,连0A,口过P作直径GH(图3-66),则AP•PB二(AE-PE)(AE+PE)=AE2-PE2=(0A2-0E2)・(01几OF)=OA2-OE-OP2+OE2=0A2-0P2二(0A+0P)(OA-OP)=PH•PG（定值）・同理，CP-DP=PH-PG（定值）.所以PA•PB=PC•PD.推论弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项.c如图3-67,AB是（DO的直径，弦CD丄AB于P.求证：PC-PA-PB.证明留给读者.例2
3、（切割线定理）从圆外一点引I员1的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例屮项.如图3-68,PC切00TC,割线交OOTA,B.求证:PC2=PA•PB.PC1PA分析欲证只须证学=煮，只须证rBrCAPCA^APBC,①为此，只须连结AC,BC,则有ZACP二ZCBP,ZP二ZP,故①成立.证法1请读者写出.证法2仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题.作0H丄AB于H,连OA,OP,0C（图3-69）.因为PC切圆0于C,所以厶PCO屮，ZC二90。，所以PC2=PO2-OC2=(
4、PH2+0H2)-0A2=PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2二(PH+AH)•(PH・AH)二PB•PA.推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积和等.E3-70图3—70屮，PAB,PCD是00的两条割线.求证：PA•PB=PC•PD.证明由例2可直接推岀.说明例1、例2及其推论统称圆幕定理.为什么叫圆幕定理呢？因为在例1中PA-PB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PA-PB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方.例1、例2的定
5、值称作定点到圆的幕，因此，例1、例2统称圆幕定理.例3如图3-71,内两弦AB,CD的延长线相交于圆外一点E,由E引AD的平行线与直线BC交于F,作切线FG,G为切点,求证：EF二FG.AC分析由于FG切圆0于G,则有FG2=FB・FC,因此，只要证明FE2=FB-FC成立即可.证因为在EFC中有ZBEF二ZA二ZC,又ZBFE=ZEFC,所以pppp/XBFECdAEFC.-jT-FBFE所以FE-FB•FC.又FG2=FB•FC,所以FEW所以FE二FG・例4在图3-72中，已知CA,CB是00的两条切线
6、，A,B是切点,0C交直线AB于D,OF垂直直线CF于F,交直线AB于E.求证：0D•OC=OE•OF=OA2・证因为AC,BC是（DO的两条切线，A,B为切点，所以0C丄AB于D.又因为OF丄CF于F,所以ZCDE=ZEFC=90°,所以D,C,F,E四点共圆，所以0D•OC=OE•OF.又在ACOA中，ZCA0=90°，所以二0D•0C,所以0D•OC=OE•0F=0A2.例5如图3-73,AABC内接于圆0,ZBAC的平分线交00于D点，交00的切线BE于F,连结BD,CD.求证：A(1)BD平分ZCB
7、E；(2)AB•BF=AF•DC.分析(1)可根据同弧所对的岡周角及弦切角的关系推出.(2)由条件及仃)的结论,可知BD=CD,因此欲求AB•BF=AF•DC,ARRD可求笃=笠，因此只须求/XAEFs/XEDF即可.ArBr证(1)因为ZCAD二ZBAD二ZFBD,ZCAD二ZCBD,所以ZCBD=ZFBD,所以BD平分ZCBE.(2)在ZkDBF与ZkBAF中,因为ZFBD=ZFAB,ZF=ZF,所以ADBFcoABAF,BD_BFAB=APAB•BF=BD•AF.又因为BD=CD,所以AB•BF=CD•
8、AF.例6如图3-74,四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切圆0于P,Q.求证：EP2+FQ2=EF2.Oi.G图3-74分析本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考•证过B,C,E作圆0,设OOi交EF于G,连结CG.因为ZFDC=ZABC=ZCGE,所以F,D,C,G四点共圆，所以EG•EF=EC•ED,①FG•EF二FC•BF.②①+②得
