九年级数学竞赛第16讲 圆中比例线段

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1、第十六讲圆中的比例线段　　　圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题．下面先介绍一下圆幂定理，然后举几个例题，供同学们思考．　　例1(交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．　　　如图3－65，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：PA·PB=PC·PD．　　PC=∠DPB，∠C=∠B．最后的条件，只要连结AC，BD即可满足，因此命题得证．　　　证法2证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PA·PB为一定值，则可用勾股定理证明．为此作OE⊥AB于E，连OA，且过P作直径GH(图3－66)，

2、则AP·PB=(AE-PE)(AE+PE)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=AE2-PE2　　　　　=(OA2-OE2)-(OP2-OE2)　　　=OA2-OE2-OP2+OE2=OA2-OP2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(OA+OP)(OA-OP)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=PH·PG(定值)．同理，CP·DP=PH·PG(定值)．所以PA·PB=PC·PD．　　推论弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项．　　　如图3－67，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA

3、·PB．　　证明留给读者．　　例2(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项．　　　如图3－68，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB．　　△PCA∽△PBC，①为此，只须连结AC，BC，则有∠ACP=∠CBP，∠P=∠P，故①成立．　　证法1请读者写出．　　证法2仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题．　　作OH⊥AB于H，连OA，OP，OC(图3－69)．因为PC切圆O于C，所以△PCO中，∠C=90°，所以PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2　　=P

4、H2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2　　　　　=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA．　　　推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．　　　图3－70中，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：PA·PB=PC·PD．　　证明由例2可直接推出．　　说明例1、例2及其推论统称圆幂定理．为什么叫圆幂定理呢？因为在例1中PA·PB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PA·PB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方．例1、例2的定值称作定点到圆的幂，因此，例1、例2统称圆幂定

5、理．　　例3如图3－71，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG．　　　分析由于FG切圆O于G，则有FG2=FB·FC，因此，只要证明FE2=FB·FC成立即可．　　证因为在△BFE与△EFC中有∠BEF=∠A=∠C，又　　　　　　　∠BFE=∠EFC，所以　　　　　　　FE2=FB·FC．又FG2=FB·FC，所以FE2=FG2，所以FE=FG．　　例4在图3－72中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线A

6、B于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．　　　证因为AC，BC是⊙O的两条切线，A，B为切点，所以OC⊥AB于D．又因为OF⊥CF于F，所以∠CDE=∠EFC=90°，所以D，C，F，E四点共圆，所以OD·OC=OE·OF．又在△COA中，∠CAO=90°，所以OA2=OD·OC，所以OD·OC=OE·OF=OA2．　　例5如图3－73，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：　　　(1)BD平分∠CBE；　　(2)AB·BF=AF·DC．　　分析(1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关

7、系推出．　　(2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求AB·BF=AF·DC，　　证(1)因为∠CAD=∠BAD=∠FBD，∠CAD=∠CBD，所以∠CBD=∠FBD，所以BD平分∠CBE．　　(2)在△DBF与△BAF中，因为∠FBD=∠FAB，∠F=∠F，AB·BF=BD·AF．又因为BD=CD，所以AB·BF=CD·AF．　　例6如图3－74，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q．求证：EP2+FQ2=EF2．　　　分析本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考．证

8、过B，C，E作圆O1，设⊙O1交EF于G，连结CG．因为∠FDC=∠ABC=∠CGE，所以F，D，C，G四点共圆，所以EG·EF=EC·