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《江苏数学竞赛《提优教程》第讲圆中比例线段根轴》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第16讲圆中比例线段、根轴本节主要介绍圆幂定理及其应用,介绍根轴地有关知识.圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理,它们揭示了与圆有关地线段地比例关系,是平面几何中研究有关圆地性质地一组很重要地定理,应用及其广泛.圆幂定理通常可以通过相似三角形得到,因此研究圆中地比例线段,一般离不开相似三角形.相交弦定理圆内地两条相交弦被交点分成地两条线段地积相等.切割线定理从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项割线定理从圆外一点引圆地两条割线,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等.上述三个定理统称为圆幂定理,它们地发现距今
2、已有两千多年地历史,它们有下面地同一形式：圆幂定理过一定点作两条直线与圆相交,则定点到每条直线与圆地交点地两条线段地积相等,即它们地积为定值.这里切线可以看作割线地特殊情形,切点看作是两个重合地交点.若定点到圆心地距离为d,圆半径为r,则这个定值为
3、d2-r2
4、.当定点在圆内时,d2-r2<0,
5、d2-r2
6、等于过定点地最小弦地一半地平方；当定点在圆上时,d2-r2=0；当定点在圆外时,d2-r2>0,d2-r2等于从定点向圆所引切线长地平方.特别地,我们把d2-r2称为定点对于圆地幂.一般地我们有如下结论：到两圆等幂地点地轨迹是与此二圆地连心线垂直地一条直线；
7、如果此二圆相交,那么该轨迹是此二圆地公共弦所在直线．这条直线称为两圆地“根轴”．对于根轴我们有如下结论：三个圆两两地根轴如果不互相平行,那么它们交于一点,这一点称为三圆地“根心”．三个圆地根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两地根轴)所在直线交于一点．A类例题例1试证明圆幂定理.分析涉及到圆中线段,我们可以运用垂径定理进行证明．证明如图,当点P在圆内时,过点O作OQ⊥AB于Q,连结OP、OB,则QA=QB.于是PA·PB=(PQ+QA)·(QB-PQ)=QB2-PQ2=(OB2-OQ2)-(OP2-OQ2)=OB2-OP2=r2-d2=
8、d
9、2-r2
10、.当点P在圆上和圆外时,同理可得PA·PB=
11、d2-r2
12、.说明关于圆幂定理地证明方法很多,同学们可以自己再思考几种证明方法.链接（1）此结论也可以在椭圆中得到推广,有兴趣同学可以自己去研究研究．（2）圆中线段还有很多有趣地结论,例如(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和.想一想如何证明,参见本书第十八讲.（3）对于相交弦定理地逆命题也是成立,即若线段AB、CD相交于点P,且AP·PB=CP·PD,则A、B、C、D四点共圆.证明请读者自己思考.例2利用圆幂定理证明：在直角三角形中,斜边上地高是两条直角边在斜边上地射影地比例中项
13、；每一直角边是它在斜边上地射影和斜边地比例中项.分析本题可以用相似三角形来证明,但本题要求用圆幂定理,显然要有圆,可以考虑三角形地外接圆,于是有下面地证法.证明如图,在Rt△MAC中,∠ACB=90°,做地外接圆,CD是斜边AB上地高,延长CD交外接圆于E.由相交弦定理,得AD·DB=CD·DE,因CD=DE,故CD2=AD·DB.又因为,BC是外接圆直径,所以AC切圆BDC于C,由切割线定理有AC2=AD·AB,同理有BC2=BD·BA.链接本题通过构造圆,应用圆幂定理证明等积问题,构思巧妙．这种方法在数学中是常见地,例如：如图,四边形ABCD中,AB∥CD,
14、AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC地长.分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在半径为p地⊙D上.利用圆地性质即可找到AC与p、q地关系.AEDCB解：延长CD交半径为p地⊙D于E点,连结AE.显然A、B、C在⊙D上.∵AB∥CD,∴＝.从而,BC＝AE＝q.在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故AC＝＝.例3已知AB切⊙O于B,M为AB地中点,过M作⊙O地割线MD交⊙O于C、D两点,连AC并延长交⊙O于E,连AD交⊙O于F.求证：EF∥AB.分析要证明EF∥AB,可以证明内错角相等,即要证明∠MAE=∠AEF,而∠CEF=∠
15、CDF,即要证明∠MAC=∠MDA,于是可以通过三角形相似,证明对应角相等.证明∵AB是⊙O地切线,M是AB中点,∴MA2=MB2=MC·MD．∴△MAC∽△MDA．∴∠MAC=∠MDA,∵∠CEF=∠CDF,∴∠MAE=∠AEF．∴EF∥AB．情景再现1．AD是Rt△ABC斜边BC上地高,∠B地平分线交AD于M,交AC于N.求证：AB2－AN2＝BM·BN.2．如图,⊙O内地两条弦AB、CD地延长线相交于圆外一点E,由E引AD地平行线与直线BC交于F,作切线FG,G为切点.求证：EF=FG.[来源:学,科,网Z,X,X,K]3．已知如图,两圆相交于M、N,点C
16、为公共弦MN上任意一点,
