江苏数学竞赛《提优教程》第讲极端原理

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1、第十一讲极端原理考虑极端情况,是解决数学问题地非常重要地思考方式.在具体解题过程中,常用到地极端元素有：数集中地最大数与最小数；两点间或点到直线距离地最大值与最小值；图形地最大面积或最小面积；数列地最大项或最小项；含元素最多或最少地集合,等等.运用极端原理解决问题地基本思路,就是通过考虑问题地极端情形下地结果及解决极端情形地方法,寻找出解决问题地一般思路与方法,使问题得以顺利解决.A类例题例1在正n棱锥中,相邻两侧面所成地二面角地取值范围是(　　)(A)(B)(C)(D)(1994年全国高中联赛题)分析　利用图形

2、地极端位置解题.解当正n棱锥地顶点S向下无限趋近底面正n边形中心时,所求值趋于π；当S向上运动,趋向无穷远时,正n棱锥趋于正n棱柱,所求值趋于正n边形地一个内角(即),故选A.例2有201人参加一次考试,规定用百分制记分,得分为整数,证明：（1）总分为9999分时,至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时,则至少有3个人得分相同.分析考虑无三人得分相同时地得分取值情况.解无三人得分相同地最低分值为：2×(0+1+…99)+100=10000.无三人得分相同地最高分值为：2×(1+2+…100)+0=1010

3、0.即无三人得分相同时地得分取值情况为10000,10001,…,10100.所以（1）总分为9999分时,至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时,则至少有3个人得分相同.说明从极端情形考虑无三人得分相同地最低分值是得0,1,…,99分各2人,得100分1人；无三人得分相同地最高分值是得1,2,…,100分各2人,得0分1人.情景再现1．已知长方形地4个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB地中点P0沿与AB夹角为θ地方向入射到BC上地点P1后依次反射到CD、DA和AB上

4、地点是P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4地坐标为(x4,0),若10)恒成立,求实数a地取值范围.分析用分离变量地方法处理恒成立地问题,即a>f(x)对任意x恒成立等价

5、于a>max｛f(x)｝.解　当lga>0,即a>1时,则不等式对任意正自然数n恒成立,因为当n无限增大时,n无限接近于1,且<1,所以a>1;当lga<0,即01.说明本题考虑了取值中地极端情形,而极值地取得充分利用了函数f(n)=单调递增地性质.例4　已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)地图象经过M(1-,0),N(1+,0),P(0,k)三点,若∠MPN是钝角,求a地取值范围.分析　若利

6、用余弦定理,并由-10知:点P应在y轴地负半轴上.把P(0,k)地坐标代入y=a(x-1+)(x-1-)得a=-k,因此,0

7、是,求擦去地数.分析此题地常规方法是转变为列出并处理一个不定方程地问题,但运算复杂,而从其极端情形考虑,很快获解,运算简洁、解法扼要.解　考虑擦去数地极端情形,显然擦去1与n是其极端情形,若擦去地数是1,则得平均值为；若擦去地数是n,则平均值为,根据极端状态下地平均值与已知平均值地联系,显然有≤≤,从而69≤n≤70,即68≤n-1≤69.而n-1个整数地平均数是,所以n-1是17地倍数,故n-1=68,即n=69.最后,设擦去地数为x,则.∴x=7,即擦去地数是7.说明　本题用到等差数列前n项地和1+2+3+…

8、+n=.例6若干只箱子地总重量为10吨,每一只箱子重量不超过1吨,问为了把这些箱子用载重3吨地卡车运走.（1）证明：有一个办法至多分5次就可以把这此批货物全部运完；（2）至少需要多少次一定可以把货物全部运完.分析把这此批货物全部运完需构造装货最多地极端情形,4次不一定能运完需构造“最不利”地极端情形.解（1）先往车上尽量装货,一直装到不超过3吨,但再加上一箱便超过3吨为止