2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第51讲圆

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1、第51讲圆对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一，在高考和数学竞赛中也很常见，学习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式：1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)．2．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①当D2＋E2－4F＞0时，该方程表示圆，圆心(－，－)，半径r＝；②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点(－，－)(点圆)；③当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何曲线(虚圆)．3．以(x1，y1)，(x2，y2)为直径端点的圆的方程：(x－x

2、1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0；4．圆的参数方程：圆心为(a，b)半径为r的圆的参数方程(θ为参数)同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论，注意待定系数法的应用．与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解．A类例题例1．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是()A．B．C．D．(2000年全国高考题)分析由于(x，y)在圆上，则的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率，从而比较顺利地解决问题．解如图，方程(x－2)2＋y2＝3的图形为圆心在(2

3、，0)，半径为r＝的圆．设＝k，则k为y＝kx的斜率，显然k的最大值是在直线y＝kx与圆在x轴上方相切时得到，即直线OM的斜率为k的最大值．又

4、AM

5、＝，

6、OA

7、＝2，则∠MOA＝．于是可得的最大值是k＝tan＝，故选D．说明这里运用数形结合的思想，把视为圆上一点(x，y)与原点连线的斜率是破题的“高明”之招．本题也可以直接解出：以y＝kx代入圆的方程(k2＋1)x2－4x＋1＝0，这是关于x的二次方程，Δ＝4－(k2＋1)≥0，解得k2≤3，则k的最大值为．例2．自点A(－3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反

8、射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程．(1989年全国高考题)分析考虑作出已知圆关于x轴的对称图形——圆C'，则两条入射光线均与圆C'相切，以此为突破口解决问题．解已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1，①设光线L所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d＝＝1．整理得，12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－，或k＝－．故所求

9、的直线方程是y－3＝－(x＋3)，或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．例3．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．(1997年全国高考题)分析要求圆心到直线的距离最小的圆的方程，必须先求出距离的最小值或求出何时距离最小，可以把本题先化成一个最值问题，解决之后再来求圆的方程．解法一设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为

10、b

11、，

12、a

13、．由题设知圆P截

14、x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r，故r2＝2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2＋1．从而得2b2－a2＝1．又点P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为d＝，所以5d2＝

15、a－2b

16、2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1．当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2＝2b2，则r＝．于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．解法二同解法一得d＝，所以

17、，a－2b＝±d，得a2＝4b2±4bd＋3d2，(1)将a2＝2b2－1代入(1)式，整理得2b2±4bd＋5d2＋1＝0(2)把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即Δ＝(±4d)2－4×2×(5d2＋1)＝8(5d2＋1)≥0，解得5d2≥1．所以5d2有最小值1，从而d有最小值为．将其代入(2)式得2b2±4b＋2＝0，解得b＝±1．将b＝±1代入r2＝2b2，r2＝2，由r2＝a2＋1得a＝±1．[来源:学#科#网]综上a＝±1，b＝±1，r2＝2，[来源:学科网]由

18、a－2b

19、＝1知，a，

20、b同号，于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．说明在解题的过程中，要体会如何合理刻画最值．情景再现1．过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2