江苏省数学竞赛《提优教程》第63讲_极限

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1、极限及其运算相关知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于0），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限．记作，读作“当趋向于无穷大时，的极限等于”2.几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即3.函数极限的定义:(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作：f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a.(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(

2、x)的极限是a.记作f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a.(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作：f(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a.4数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果那么　　　　5对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么,,当C是常数，n是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用6函数在一点连续的定义:如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.7.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续

3、，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.8函数f(x)在［a，b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.9最大值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).10最小值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f

4、(x2).11.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值.A类例题例1（1）等于()A.－1B.0C.1D.不能确定分析因为当

5、

6、＜1即a＜时，=0，当

7、

8、＞1时，不存在.当=1即a=时，=1当=－1时，也不存在.答案D.例2已知

9、a

10、＞

11、b

12、，且(n∈N*)，那么a的取值范围是()A.a＜－1B.－1＜a＜0　　　C.a＞1D.a＞1或－1＜a＜0分析左边=右边=∵

13、a

14、＞

15、b

16、，∴

17、

18、＜1.　　∴()n=0∴不等式变为＜a，解不等式得a＞1或－1＜a＜0.答案：D.说明在数列极限中，极限qn=0要注意这里

19、q

20、＜1.这

21、个极限很重要.例3(1).(2)[来源:Z§xx§k.Com](1)分析先因式分解法，然后约分代入即得结果。解：.(2)分析分子、分母同除x的最高次幂.解：例4.分析进行分子有理化.解：.=链接有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x的最高次幂；④分子有理化法.情景再现1已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则　　）=（　）

22、　　A．2　　B．　　C．1　　D．2=8，试确定a，b的值.B类习题例5　已知下列极限，求a与b.(1)(2)(3)分析此题属于已知x趋向于x0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x=x0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a，b的值.解(1)1°如果1－a≠0，∵∴不存在.2°如果1－a=0，∵=－(a+b)=0即a+b=0∴[

23、来源:学科网ZXXK]解：(2)要使极限存在1－a2=0.∴即1+2ab=0，a+1≠0.∴解：(3)当x→1时极限存在，则分子、分母必有公因式x－1.　　∴a－b2=－1∴原式=∴链接我们求极限的一种方法是分子、分母同除x的最高次幂，但像第(1)题，因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以x2，则分子极限为0，不符合，所以通分后，应除以分子分母中x的较低次幂.并且x的次数比分子x的最高次幂大的项的系数应该等于0，这样