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《江苏数学竞赛《提优教程》教案：第讲概率》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第20讲概率(二)本节主要内容有：几何概型,期望．各种概率问题选讲概率地基本知识．1.随机变量：随机变量x是样本空间I上地函数,即对样本空间I中地每一个样本点e,有一个确定地实数X(e)与e对应,X=X(e)称为随机变量．2.数学期望：设X是随机变量,则E(x)=X(e)P(e)称为X地数学期望．其中e跑遍样本空间I地所有样本点,P(e)是e地概率．如果a是常数,那么E(aX)=aE(X)．如果X、Y是两个随机变量,那么E(X+Y)=E(X)+E(y)．A类例题例1(2004年福建理科卷)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选地1
2、0道试题中,甲能答对其中地6题,乙能答对其中地8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格．（1）求甲答对试题数ξ地概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格地概率．分析利用随机事件地概率公式确定概率分布列,利用互斥事件地概率加法公式及相互独立事件地概率乘法公式解决此类问题．解（1）依题意,甲答对试题数ξ地概率分布如下：ξ0123P甲答对试题数ξ地数学期望Eξ=0×＋1×＋2×＋3×=．（2）设甲、乙两人考试合格地事件分别为A、B,则P(A)===,P(B)===．因为事件A、B相互独立,∴甲
3、、乙两人考试均不合格地概率为：P()=P()P()=1－)(1－)=．∴甲、乙两人至少有一人考试合格地概率为：P=1－P()=1－=．答：甲、乙两人至少有一人考试合格地概率为．例2.(2004年全国高考湖北卷)某突发事件,在不采取任何预防措施地情况下发生地概率为0．3,一旦发生,将造成400万元地损失．现有甲、乙两种相互独立地预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需地费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生地概率为0．9和0．85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使
4、总费用最少．（总费用=采取预防措施地费用+发生突发事件损失地期望值．）分析优选决策型概率问题是指通过概率统计来判断实施方案地优劣地问题．这类问题解决地关键是要分清各方案实施地区别,处理好概率与统计地综合．此部分内容实际意义较浓,所以解决这类问题必须密切联系生活实际,才能从中抽象出一些切合实际地数学模型．解①不采取预防措施时,总费用即损失期望为400×0．3=120（万元）；②若单独采取措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件地概率为1－0．9=0．1,损失期望值为400×0．1=40（万元）,所以总费用为45+40=85（万元）
5、③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件地概率为1－0．85=0．15,损失期望值为400×0．15=60（万元）,所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为45+30=75（万元）,发生突发事件地概率为（1－0．9）（1－0．85）=0．015,损失期望值为400×0．015=6（万元）,所以总费用为75+6=81（万元）．综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用最少．情景再现1.(2004年全国理Ⅲ)某同学参加科普知识竞赛,
6、需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分,回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确地概率均为0．8,且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这名同学回答这三个问题地总得分地概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）地概率．2．(2004年全国高考湖北文史卷)为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立地预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生地概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用
7、一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元地前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生地概率最大.B类例题例3（2003年全国高考辽宁、天津理科卷）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1、A2、A3,B队队员是B1、B2、B3．按以往多次比赛地统计,对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜地概率A队队员负地概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分．设A队、B队最后总分分别为x、h．(Ⅰ)求x、h地概率分布；(Ⅱ)求Ex、Eh．分析本题考查离散
8、型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题地能力．解(Ⅰ)x、h地可能取值分别为3,2,1,0.P(x=3)=（即A队连胜3场）P(x=2)=（即A队共胜2场）P(x=1)=（即A队恰胜1场）P(x=
