函数大题精选.doc

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1、例5．函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴．（2）由，令得，由（1）知，∴．∵，∴在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立．当时，，∴，解得∴的取值范围是．例2．（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求．解：（1）∵，∴（或）．（2）令（），则，∴，∴．（3）设，则，∴，，∴．（4）①，把①中的换成，得②，①②得，∴．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用

2、待定系数法；第（4）题用方程组法．例4．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式．解：∵是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴．②当时，由题意可设，由得，∴，∴．③∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，∴可设，而，∴，∴当时，，从而当时，，故时，．∴当时，有，∴．当时，，∴∴．例1．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），∴的值域为

3、．改题：求函数，的值域．解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．∴函数，的值域为．（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为．又∵，∴，故，∴的值域为．（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，∴原函数的值域为．（法二）分离变量法：，∵，∴，∴函数的值域为．（4）换元法（代数换元法）：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（6）数形结合法：，∴，∴函数值域为．（7）判别式法：∵恒成立

4、，∴函数的定义域为．由得：①①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，∴，∴且，∴原函数的值域为．（8），∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．（9）（法一）方程法：原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．解：原方程可化为，令，则，，又∵在区间上是减函数，∴，即，故实数的取值范围为：．例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查

5、和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：，且时，，∴，即，∴年生产成本为万元，年收入为．∴年利润，∴．（2

6、）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值．∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（2）由得定义域为，∴，∵∴为偶函数（3）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．例2．已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得．例3．（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为

7、．例4．设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且．②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值．综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是．例2．设，是上的偶函数．（1）求的值；（2）证明在上为增函数．解：（1）依题意，对一切，有，即∴对一切成立，则，∴，∵，∴．（2）设，则，由，得，，

8、∴，即，∴在上为增函数．例4．（《高考计划》考点10智能训练14）已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．解：（1）令，得，∴，