函数大题难题讲解.doc

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1、函数大题讲解函数与导数解答题一直是高考的热点之一，这类解答题的命题方式灵活多变，其主要特点有两个：一是涉及的知识面广，从简单的一次函数到复杂的复合后的指数、对数函数等；二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法．这类试题中值得注意的题型是：利用导数研究函数的性质，利用函数、导数研究不等式和方程的根．易错点：①导数公式或导数法则运用出错．②忽视函数的定义域致错．③导数为零的点、极值点、最值点混淆．从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的

2、取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值.题型一：利用求导的方法证明不等式突破策略一　差函数法证明函数不等式f(x)>g(x),可证f(x)-g(x)>0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为f(x)-g(x)表达式的某一部分,利用导数证明h(x)min>0;如果h(x)没有最小值,那么可利用导数确定出h(x)的单调性,即若h'(x)>0,则h(x)在(a,b)上是增函数,同时若h(a)≥0,则当x∈(a,b)时,有h(x)>0,即f(x)>g(x).例1(2016山东,理20)已

3、知f(x)=a(x-lnx)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=a-ax-2x2+2x3=(ax2-2)(x-1)x3.当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,f'(x)=a(x-1)x3x-2ax+2a.①01,当x∈(0,1)或x∈2a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈1,2a时,f'(x

4、)<0,f(x)单调递减.②a=2时,2a=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.③a>2时,0<2a<1,当x∈0,2a或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈2a,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当02时,f(x)在0,2a内单调递增,在2a,1内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.(

5、2)证明由(1)知,a=1时,f(x)-f'(x)=x-lnx+2x-1x2-1-1x-2x2+2x3=x-lnx+3x+1x2-2x3-1,x∈[1,2].设g(x)=x-lnx,h(x)=3x+1x2-2x3-1,x∈[1,2].则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).由g'(x)=x-1x≥0,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取得等号.又h'(x)=-3x2-2x+6x4,设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减,因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,

6、x∈(x0,2)时,φ(x)<0.所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.由h(1)=1,h(2)=12,可得h(x)≥h(2)=12,当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=32,即f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.对点训练1已知函数f(x)=ax+lnx,函数g(x)的导函数g'(x)=ex,且g(0)g'(1)=e,其中e为自然对数的底数.(1)若∃x∈(0,+∞),使得不等式g(x)

7、(x)1,x+12x≥2x·12x=2当且仅当x=12时等号成立,所以ex

8、x+12x>1,所以h'(x)<0,所以h(x)在(