导函数大题集锦.doc

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1、1、已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．解：（1）当时，（2）①当恒成立，函数的递增区间为②当时，令0+减极小值增（3）对任意的，使成立，只需对任意的，①当时，在上是增函数，只需，而，满足题意；②当时，，在上是增函数，只需，而满足题意；③当时，，在上是减函数，上是增函数只需即可，而，不满足题意；综上，2、已知函数。（Ⅰ）求的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。3、已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当时，方程

2、有实根，求实数b的最大值。(1)解：……1分因为x=2为f(x)的极值点，所以……2分即，解得：a=0……3分又当a=0时，，从而x=2为f(x)的极值点成立．……4分(2)解：∵f(x)在区间[3，+∞)上为增函数，∴在区间[3，+∞)上恒成立．……5分①当a=0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f(x)在[3，+∞)上为增函数，故a=0符合题意．……6分②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故只能a>0，所以在区间[3，+∞)上恒成立．……7分令，其对称轴为……8分∵a>0，∴，从而g(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g(3)≥0即

3、可，由，解得：……9分∵a>0，∴．综上所述，a的取值范围为[0，]……10分(3)解：时，方程可化为，．问题转化为在(0，+∞)上有解……11分令，则…12分当01时，，∴h(x)在(1，+∞)上为减函数故h(x)≤h(1)=0，而x>0，故即实数b的最大值是0．……14分4、已知函数，，其中．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a＝1时，设函数在区间上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间上的最小值．解：(1)＝x2＋(1－a

4、)x－a＝(x＋1)(x－a)．由＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)＋0－0＋极大值极小值故函数的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．（2）由(1)知在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当，解得0＜a＜.所以a的取值范围是.（3）a＝1时，＝x3－x－1.由(1)知在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1

5、∈[t，t＋3]，在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f

6、(t＋3)的大小．由在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－.所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.5、（本小题满分13分）已知函数，（）.（1）若有最值，求实数的取值范围；（2）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.解：（1），由知，①当时，，在上递增，无最值；②当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值；③当时，有一正根，在上递减，在

7、上递增；此时，有最小值；所以，实数的范围为.7分（2）证明：依题意：，由于，且，则有.13分考点：1.导数的计算；2.利用导数求曲线的切线方程；3.利用导数求函数的最值；4.基本不等式.6、（本小题满分13分）已知函数(为实常数)．（1）若，求证：函数在上是增函数；（2）求函数在上的最小值及相应的值；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，，当，，故函数在上是增函数．（2），当，．若，在上非负（仅当，时，），故函数在上是增函数，此时．　若，当时，；当时，，此时是减函数；当时