2014年北大秋令营数学试题及解答.doc

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1、2014年北大秋令营试题及解答第一题，可以猜到答案也是1（因为AB=AC时答案是1），然后只需证ABD和ACD的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD和ACD的内角可以很简单的用C、B表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A是钝角可以由AB+AC=2R推出，所以是多余的条件。第二题，(a^2+3b^2+4)^2>((a+2)^2+3b^2)((a-2)^2+3b^2)=(a^2+3b^2+4)^2-16(a)^2>(a^2+3b^2-4)^2，然后分类讨论即可。第三题，尽管可以利用互相垂直的三个四维向量，

2、但是这样不会给分，所以由于a_1^2(b_1+tc_1)^2=(a_2(b_2+tc_2)+a_3(b_3+tc_3)+a_4(b_4+tc_4))^2<=(a_2^2+a_3^2+a_4^2)((b_2+tc_2)^2+(b_3+tc_3)^2+(b_4+tc_4)^2)=(1-a_1^2)(1-b_1^2+t-t*c_1^2-2t*b_1*c_1)，整理一下，令t=(b_1*c_1)/(1-a_1^2-c_1^2)即可第四题，n为奇数时2整除f(n)，n为偶数时n^n+1整除f(n)第五题，这个题在很多书上有，包括著名

3、的天书，下面是天书的截图第六题，考虑大于10^k的M中的最小正整数x，有10^k==x，故我们只需证有无穷多个k使得x>=10^k>d*(k^d)+sqrt(k^d)，这显然成立，于是d>100是多余的条件。