2015清华大学数理体验营数学试题及解答.doc

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1、2015清华大学数理体验营数学试题1、已知函数f(x)=4sin3xcosx−2sinxcosx−cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值；（2）求f(x)的单调区间．2、设函数f(x)=(2x2−4ax)lnx+x2（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若不等式f(x)>0对x⩾1恒成立，求a的取值范围．3、袋中有若干枚均匀硬币，其中一部分是普通硬币，其余的两面均为正面，已知普通硬币占总硬币数的比例为θ(0<θ<1)．从袋中任取一枚硬币，在不查看它属于哪种硬币的前提下，将其独立地连掷两次．（1）以X记掷出的正面数，求X的分布列；（2）将上述试验独立重复地进行n次，以Y记这n次试验

2、中不出现正面的次数，求Y的分布列．4、已知椭圆L:的离心率为，F1,F2分别为椭圆L的左右焦点，点(1,)在椭圆上，设A为椭圆L上一个动点，弦AB,AC分别过焦点F1,F2且,（1）求椭圆L的方程；（2）求λ1+λ2的值；（3）求△F1AC的面积S的最大值．5、已知数列{an}满足：an>0，an+a2n+⋯+ann=,(n=1,2,⋯)证明：（1）an>an+1(n=1,2,⋯)；（2）对于任意给定的0<ϵ<1，总存在正整数m，当n>m时，0

3、X=(x1,x2,⋯,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯,n},n⩾2,对于A=(a1,a2,⋯,an

4、)∈Sn,B=(b1,b2,⋯,bn)∈Sn,定义A与B的差为A−B=(

5、a1−b1

6、,

7、a2−b2

8、,⋯,

9、an−bn

10、),且A与B之间的距离为4（1）对任意A,B,C∈Sn，证明：d(A−C,B−C)=d(A,B)，且d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三个数中至少有一个是偶数；（2）设P⊆Sn，P中有m(m⩾2)个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明：．（3）当n=3时，若M满足：M⊆S3且M中元素间的距离均为2，试写出含有元素个数最多的所有集合M．2015清华大学数理体验营数学试题解答1、（1）因为，所以的最小正周期为，最大值为．（2）的单调递增区间为,k∈Z．2、

11、（1）f′(x)=4(x−a)(1+lnx)．当a⩽0时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增；当0时，f(x)在(0,)(和(a,+∞)上单调递增，在(,a)上单调递减．（2）由(（1）可知，当a⩽1时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，故只需满足f(1)>0即可，而此时f(1)=1>0恒成立，所以a⩽1满足题意．当a>1时，只需满足f(a)=a2(1−2lna)>0,即可，解得10对∀x∈[1,+∞)恒成立，则

12、a的取值范围是(−∞,)． 43、（1）根据全概率公式可得分布列为（2）根据二项分布的计算方式，可得分布列为4、（1）椭圆L的方程为（2）设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，C点坐标为(x3,y3)．由可得由椭圆的焦准性质可知，，将代入上式，可得λ1=2x1+3；同理，，将代入上式，可得λ2=−2x1+3．所以λ1+λ2=6．（3）当直线AC的方程为x=1时，△F1AC的面积S取到最大值．5、（1）若∃k∈N+，使得0an+1(n=1,2,⋯)．（2）显然01/3．由于数列{an}单调递减有

13、下界，所以n→∞时，数列{an}的极限存在．设4则解得A=1/3．所以对于任意给定的0<ε<1，总存在正整数m，当n>m时，0

14、ai−bi

15、+

16、bi−ci

17、+

18、ci−ai

19、的奇偶性相同，故d(A,B)+d(A,C)+d(B,C))是偶数．所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．（2）其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m−ti个0，则（3

20、）S3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点．易知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点处．所以集合M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}，或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}．4