北大清华秋令营试题及解答

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1、北大秋令营下面谈一谈这几个题的大致做法第一题，可以猜到答案也是1（因为AB=AC时答案是1），然后只需证ABD和ACD的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD和ACD的内角可以很简单的用C、B表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A是钝角可以由AB+AC=2R推出，所以是多余的条件第二题，(a^2+3b^2+4)^2>((a+2)^2+3b^2)((a-2)^2+3b^2)=(a^2+3b^2+4)^2-16(a)^2>(a^2+3b^2-4)^2，然后分类讨论即可第三题，尽管可以利用互相垂直的三个四维向量，但是这样不会给分，所以由于a_1

2、^2(b_1+tc_1)^2=(a_2(b_2+tc_2)+a_3(b_3+tc_3)+a_4(b_4+tc_4))^2<=(a_2^2+a_3^2+a_4^2)((b_2+tc_2)^2+(b_3+tc_3)^2+(b_4+tc_4)^2)=(1-a_1^2)(1-b_1^2+t-t*c_1^2-2t*b_1*c_1)，整理一下，令t=(b_1*c_1)/(1-a_1^2-c_1^2)即可第四题，n为奇数时2整除f(n)，n为偶数时n^n+1整除f(n)第五题，这个题在很多书上有，包括著名的天书，下面是天书的截图第六题，考虑大于10^k的M中的最小正整数x

3、，有10^k==x，故我们只需证有无穷多个k使得x>=10^k>d*(k^d)+sqrt(k^d)，这显然成立，于是d>100是多余的条件清华秋令营下面是沧海老师发的试题，第六题中的r似乎应当改为n，因为r并没有定义，同时第4题的题号被打成了3下面谈一谈这几个题的大致做法第一题，实际上只需证明n>3时cos(π/n)是无理数（因为正多边形的边长和最短边长均为整数），这很容易证明第二题，使用数学归纳法可以知道n增加1时所求的式子增加n，于是整个式子的值为

4、(n^2+n)/2第三题，设[n/(sqrt(3))]+1=m，则由n/(sqrt(3))n^2，3m^2>=n^2+2（因为平方数模3余1或0），m>=sqrt((n^2+2)/3)>(n^2)/(sqrt(3n^2-5))（n>=2时），于是k可以取5，但是令n=5，有k<5，于是k最大为5第四题，使用拉格朗日插值公式导出的拉格朗日恒等式，由于f(a,b,c)中的项除了首项要么x的次数小于l要么y的次数小于m要么z的次数小于n，于是这个式子的值为1第五题，我们作一个有向图，将1,2,3,...,n作为顶点，从每个点x向f(x)连一条边，

5、显然这个图由若干个互不相交的圈组成，设有k个圈，由于每个不动子集都必须完整地包含若干个圈，故有2^k-1个不动子集（去掉一个空集），于是结论显然成立第六题，在圆周的第i个n等分点上标上f(i)，我们要求的是这样的图的个数（旋转之后相同的视作相同的），尽管用皮亚诺计数定理可以迅速地解决这个问题，但是由于n的约数数量很少，所以直接分类讨论即可第二题，使用数学归纳法可以知道n增加1时所求的式子增加2n+1，于是整个式子的值为n^2第三题用连分数简单。如果用pell方程，考虑x^2-3y^2=-2的解，也简单。第五题，我们作一个有向图，将1,2,3,...,n作为顶

6、点，从每个点x向f(x)连一条边，设有这个图中有k个圈（由于边数大于顶点数，故至少有一个圈），由于每个不动子集都必须完整地包含若干个圈，而不能包含不在圈里的任何数，故有2^k-1个不动子集（去掉一个空集），于是结论显然成立