资源描述：
《双曲线的简几何性质.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、双曲线的简单几何性质一．基本概念1双曲线定义：①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2、F1F2
3、）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长，虚轴长2b,焦距⑵顶点到焦点的距离：，⑶顶点到准线的距离：；⑷焦点到准线的距离：⑸两准线间的距离:⑹中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来，⑺离心率：∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长⑼通径
4、的长是，焦准距，焦参数（通径长的一半）其中3双曲线标准方程的两种形式：①－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）②－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）4、双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0）⑴范围：
5、x
6、≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程②若渐近线方程为双曲线可设为③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y
7、=－x⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；，（点P在双曲线的右支上）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x轴的弦长）为。⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。⑿注意两类特殊的双曲线一类是等轴双曲线：其主要性质有：，离心率，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意
8、一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。二．例题选讲【例1】若在双曲线（a＞0,b＞0）的右支上时，证明：，变式1：若在双曲线（a＞0,b＞0）的左支上时，证明：,变式2：（2010江西理）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=解：a=2.c=6,,变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲
9、线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________解：，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为()mA．B.C.D.解：设双曲线的右准线为,过分别作于,于,,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角,由双曲线的第二定义有.又.【例2】双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，，求证：（1）；（2）双曲线的焦点角形的面积为.变式：（2010全国1文）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，，则(A)2(B
10、)4(C)6(D)8解1：由余弦定理得cos∠P=4解2：由焦点三角形面积公式得：，4变式2：（2010全国1理）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，，则P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)【例3】设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，证明：.【例4】证明：与双曲线共渐近线的双曲线系方程是变式1：证明：与双曲线共焦点的双曲线系方程是变式2：根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2）；（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）
11、分析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意得，解得a2=，b2=4所以双曲线的方程为－=1（2）设双曲线方程为－=1，由题意易求c=2，又双曲线过点（3，2），∴－=1又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8，故所求双曲线的方程为－=1解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝（2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1点评：求双曲线的方程
12、，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲
