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1、《高等数学》参考资料第三篇多元函数微积分第九章级数§1数项级数习题1.讨论下列级数的收敛性。若收敛，试求出级数之和。∞∞1⑴∑(n+1−n);⑵∑;nn=1n=1n∞∞2n−1⑶∑n;⑷∑(n+2−2n+1+n);n=13n=1∞∞12n⑸∑⑹∑;n=1(5n−4)(5n+1)n=13n+1∞∞11⑺∑;⑻∑arctan2;n=1n(n+1)(n+2)n=12n【解】.(1)发散;(2)发散;(3)1;(4)1−2;11(5);(6)发散;(7);54π111(8),提示:利用arctan=arctan−arctan.24
2、2n2n−12n+121212.设抛物线l：y=nx+和l′：y=(n+1)x+的交点的横坐标的绝对nnnn+1值为a（n=1,2,"）。n(1)求抛物线l与l′所围成的平面图形的面积S;nnn∞Sn(2)求级数∑的和.n=1an21211【解】(1)nx+=(n+1)x+,x=,nn+1n2+n12⎛2121⎞Sn=∫n1+n⎜nx+−(n+1)x−⎟dx−2⎝nn+1⎠n+n2224=−+−=.232223(n+n)nn+n(n+1)n+n3n(n+1)n+n∞∞Sn44(2)∑=∑=.n=1ann=13n(n+1)3
3、3.利用Cauchy收敛原理证明下述级数发散：17911111111⑴1+-++-++-+⋯;2345678911111111⑵1-++-++-++⋯;234567891【解】(1)对于ε=,任意的正整数K,取N>K且为3的倍数,则2111111
4、a−a
5、=+−+"++−4NNN+1N+2N+34N−24N−14N11113N1>+++"+>>.N+1N+4N+74N−24N−22因此级数发散.(2)类似(1)的方法111111
6、a−a
7、=−++"+−+4NNN+1N+2N+34N−24N−14N11113N1>+++"+
8、>>.N+3N+6N+94N4N24.讨论下列正项级数的收敛性：∞∞11⑴∑;⑵∑;n!nn=1n=1n∞∞πlnn⑶∑(1−cos);⑷∑2;n=1nn=1n∞∞4n1⑸∑4;⑹∑n;n=1n+1n=1ln(n+2)∞∞nn⎛n⎞⑺∑(n−1);⑻∑⎜⎟;n=1n=1⎝3n+1⎠∞2∞nnn[2+(−1)]⑼∑n;⑽∑2n+1;n=12n=12∞∞2−nπ⑾∑ne;⑿∑ntann+1;n=1n=12∞∞2222⒀∑(n+1−n−1);⒁∑(2n−n+1−n−1);n=1n=1∞n2+1∞⎛1π⎞2⒂∑ln⒃∑⎜en−co
9、s⎟；n2−1⎜n⎟n=2n=1⎝⎠∞∞11⒄∑;⒅∑1+p(p>0)。n=2n⋅lnn⋅lnlnnn=2n⋅(lnn)⋅lnlnn【解】(1)收敛;(2)收敛;(3)收敛;180∞lnnlnn1lnn1n1(4),=<=.收敛;(5)收敛;∑223n=1nnnnnnn2∞111(6)∑n,<,收敛;n=1ln(n+2)ln(n+2)2∞n(n)a−1nn(7)∑n−1发散由于lim=lna,而n−1>a−1;n→∞1n=1n(8)发散;(9)收敛;(10收敛;(11)收敛;(12)收敛;∞(22)222(13)∑n+1−
10、n−1,(n+1−n−1)=.发散;22n=1n+1+n−1∞(22)22−1(14)∑2n−n+1−n−1=(n−n+1)+(n−n−1)=2n=1n+n+112+=收敛;22222n−1+n(n+n+1)(n+n−1)(n+1+n−1)(15)收敛;1⎛⎞⎛2⎞2⎛2π⎞1⎛1⎞π⎛1⎞2−π⎛1⎞(16)⎜en−cos⎟=1++o⎜⎟⎟⎟−⎜1−+o⎜⎟⎟=+o⎜⎟,收敛;⎜⎜23⎜23⎟23⎝n⎠⎝n⎝n⎠⎠⎝2n⎝n⎠⎠2n⎝n⎠(17)发散;e11(18)收敛;提示:当n>e时,<1+p1+pn⋅(lnn)⋅l
11、nlnnn⋅(lnn)5.利用级数收敛的必要条件，证明：nn(2n)!(1)lim=0，(2)lim=0.2n(n+1)n→∞(n!)n→∞2∞nna(n+1)n+1n!n!11nn+1⎛⎞【解】(1)考虑级数∑2,由于=n=⎜1+⎟n=1(n!)an(n+1)!(n+1)!nn+1⎝n⎠nn→0(n→∞),于是级数收敛,0a→,因此lim=0.n2n→∞(n!)∞n(n+1)(2n)!an+1(2n+2)!2(2n+2)(2n+1)(2)考虑级数∑,==→0,于是级数收n(n+1)(n+1)(n+2)2n+2n=12an
12、2(2n)!2(2n)!敛,因此a→0,即lim=0.nn(n+1)n→∞26.讨论下列级数的收敛性：∞1∞2x2nπsinx(1)∑∫ndx,(2)∑∫dx，01−xnπx2n=1n=1∞1(3)∑∫nln(1+x)dx.0n=1181∞111x【解】(1)∑∫nxdx,解n>2时0
