高三数学不等式的证明教案15

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1、高三数学不等式的证明教案1563不等式的证明I一、明确复习目标1．理解不等式的性质和证明;2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二．建构知识网络1比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证1。说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；2综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等

2、式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条，把证明这个不等式的问题转化为这些条是否具备的问题，如果能够肯定这些条都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条,等号、不等号成立的条等。三、双基题目练练手1设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，=中最大的一个是()AaBbD不能确定2（200春上海）若a、b

3、、是常数，则“a＞0且b2－4a＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+＞0”的()A充分不必要条B必要不充分条充要条D既不充分也不必要条3设（0，+∞），则三个数，，的值　　（　）A都大于2B都小于2至少有一个不大于2　　D至少有一个不小于24对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是．．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+≥2其中一定成立的是__________6船在流水中在甲地和乙地间回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为____________◆简答:1-3AD;4;①②

4、;6设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==∵v1－v2=－v2=－＜0，∴v1＜v2答案：v1＜v2四、经典例题做一做【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a（2）设求证证明：（1）p=a2+b2+1-ab-a==显然p>0∴得证（2）证法一:左边-右边====∴原不等式成立。证法二:左边>0，右边>0。∴原不等式成立。◆提炼方法:比较法作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。【例2】已知a+b+

5、=0，求证：ab+b+a≤0证明法一：（综合法）∵a+b+=0，∴（a+b+）2＝0展开得ab+b+a=－，∴ab+b+a≤0法二：（分析法）要证ab+b+a≤0，∵a+b+=0，故只需证ab+b+a≤（a+b+）2，即证a2+b2+2+ab+b+a≥0，亦即证［（a+b）2＋（b＋）2＋（＋a）2］≥0．而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立证法三：∵a+b+=0，∴－=a+b∴ab+b+a=ab+（b+a）=ab－（a+b）2＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．∴ab+b+a≤0【例3】已知的三边长为且为正数求证:证明一:分析法:要证只需证①∵在ΔAB中,∴①式成

6、立,从而原不等式成立证明二:比较法:证明二:因为为的三边长,所以【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜证明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－

7、x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1综上，可知x＜f（x）＜x1（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2对称轴为x=x0=－=,()法2:由题意知x0=－∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方