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1、难点18高考数学重点难点复习：不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高屮数学屮的一个难点，木难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场(★★★★)已知a>0,b>0,且a+方=1.求证:(a+—)(b+丄)M兰.ab4•案例探究［例1］证明不等式1+丄+厶+…+亠＜2乔（乃WN*）a/2V34n命题意图：木题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题H，考杳学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，
2、属★★★★★级题目.知识依托：木题是一个与15然数"有关的命题，首先想到应用数学归纳法,另外述涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：］+丄+电亠…+A丄+丄+…+丄壬=麻＜.24n.这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法:本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=M的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标;而讦•法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.立;证法一：（1）当等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成⑵假设心:（妙1）
3、时，不等式成立，即1+吉+石1+•••+亠<2联,4k/<2.^[k4—]Jk+1+伙+1)+1/k+伙+1)+1=j-vmvm__，・••当n=k+l时,不等式成立.综合⑴、(2)得:当hEN*时,都有1+厉+祈1另从R到£+1时的证明述有下列证法:•・•2伙+1)-1-2火伙+1)=2以伙+1)+伙+1)=(VT-Vm)2>o,2jk(k+1)+1<2伙+1),*.*Jr+1〉0,2—/v2JR+1.Jp+1乂女ii:v2vrrT-2vr=2Jk+1+4k2Jr+i+Jr+i/."ZyfkH—/<2JP+1.证法二:对任
4、意RUN",都有:122vr_vt+vtvr+vrn=2(VT-VT^T),因此1+11—f=H—-f=+…+V2V3y/n2+2(V2-l)+2(V3-V2)+-«-+2(V^-V^)=2Vn.证法三:设f(n)=2-/^*-(1+寸—++…+那么对任意RGN*都有:/伙+1)—/伙)=2(VTTT—攸)—Qk+1]VT+i[2伙+1)-2灰而)-1]冷+1)-2时+幻=号鬥因此，对任意neN*都有.如)>.如一1)>・・・>/⑴二1>0,2長.［例2］求使仮+7?WaJ兀+y(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.命题意图
5、：本题考查不等式证明、求最值两数思想、以及学生逻辑分析能力,属于★★★★★级题廿・知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式屮，因此需利用不等式的有关性质把。星现出来，等价转化的思想是解决题Fl的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定。的取值范围，此时我们习惯是将兀、y与cos〃、sin〃來对应进行换元，即令V^=cos&,^[y=sin<^（0<^<—）,2这样也得d±sin〃+cos〃，但是这种换元是错误的.其原因是：（1）缩小了兀、y的范围
6、；（2）这样换元相当于本题又增加了“兀、）=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型,即若参数Q满足不等关系，则QminhWmax；若。切兀），则QmaxhWmin，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2^/xyW/（兀+歹）,即2^fxyW（a2—1）（x+y）,①Ax,y>0,・x+y^2y[xy,②当且仅当x=y时，②中
7、有等号成立.比较①、②得a的最小值满足/—1=1,・・・/二2,a=y[2（因a>0）,:.a的最小值是血.解法二：设’迄也匹⑥[巨I逅匚逅.Jx+yVx+yVx+yVx+yVx>0,y>09/.x+y2^xy（当ey时“=”成立），・••迥W1,迺的最人值是1.x+yx+y从而可知，"的最人值为Jl+1=V2,乂由已知，得:.a的最小值为血.解法三：・・・）〉o,设・••原不等式可化为+1Wa/.tan”+1WaJtan?&+1；R卩tan”+1Wasec0asin〃+cos〃二逅sin(〃+仝)，4③又Vsin(0+-)的
8、最大值为1(此时^=-).44由③式可知a的最小值为V2.•锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式
