高三数学 不等式证明教案同步教案 新人教a版

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1、高三数学（第9周）【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。综合法常常用到如下公式：（1）≥2ab(a,b∈R)(2)≥(3)

2、≥2(a.b>0)(4)≥(5)≥利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。【知识讲解】例1、设1>2a>0,试比较A=1+a2与B=的大小。解：A-B==∵恒成立.由条件知0<,∴a-1<0,∴A-B<0即A

3、的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化为运用指数函数的性质来证明。证明：10当a≥b时,≥1,a-b≥0，由指数函数的性质可知≥1.20当a>b时,,a-b<0,同理可得≥1,综上所述,≥1即aabb≥abba.例3、设a>0且a≠1,m>n>0,求证:.分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采用作差与0比较的方法。证明：=10当0n>0,∴am020当a>1时,∵m>n>0,∴am

4、>an,∴(*)式>0∴当a>0且a≠1时.(*)式恒正,即.例4、设a.b.c∈R+,求证:≤分析：初看上去似乎与基本不等式有关，但若直接运用基本不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项a+b，因此可以考虑用比较法来证明。证明一、=∵a.b.c∈R+,∴≥∴≥0,即所证不等式成立.证明二、∵=令∵a.b.c∈R+，∴x,y∈R+=(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2)=(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)≥

5、0并且仅当x=y即c2=ab时“=”成立。∴≤.说明:证法一运用了基本不等式,关键是对进行恒等变形,创造条件运用基本不等式;证法二采用了换元法,关键是如何假设变量才解使差式化简。例5、当n>2时，求证：logn(n-1).logn(n+1)<1证明：∵n>2.∴logn(n-1)>0.logn(n+1)>0∴logn(n-1).log(n+1)<=∴原不等式成立.说明:该题所证的结论即为n>2时,logn-1n>logn(n+1),此结论应记住,它对我们今后的学习也是很有帮助的,由它可以得到一连串不等式:log2324>log2425

6、>log2526>lup2627>……。例6、设a.b.c∈R+,求证:≥.分析:如果把因式a+b+c乘到括号内,则所证不等式左边较复杂,很难看出用什么方法去证明,若我们注意分析该不等式左边的特征,它与三个变元的均值不等式的左边很类似,再联想到结论:当x.y.z∈R+时,≥9就不难得到证明了.证明:∵a.b.c∈R+∴≥而2(a+b+c)=［(a+b)+(b+c)+(c+a)］≥∴≥9即≥.说明:掌握了此类不等式的证明方法后,与此类似的不等式,如10若a.b.c∈R+且a+b+c=1求证:≥20若a.b.c∈R+,则≥等等就不难证明了

7、.例7、已知：a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,n∈N求证:a1x1+a2x2+…+anxn≤1证明:∵a12+x12≥2a1x1,a22+x22≥2a2x2……an2+xn2≥2anxn,相加得,(a12+a22+…an2)+(x12+x22+…+xn2)≥2(a1x1+…+anxn)即a1x1+a2x2+…+anxn≤1.例8、若a≥3,求证：证法一：若证原不等式成立，只要证成立，要证此不等式成立，只要证a2-3a

8、若证原不等式成立,只要证成立,只要证成立,而此式显然成立,∴.例9、已知a>b>0,求证：证明：若证原不等式成立，只要证：，只要证明，只要证，只要证，只要证只要证即证即证成立，∵a>b>0的此式显然成立,又以上各步均可逆