高三数学 导数与微分教案同步教案 新人教a版

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1、高三同步辅导材料（第3讲）一、教学进度第三章导数与微分二、学习指导通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（）、曲线在某一点处的切线的斜率（）、生产的边际成本（）三个实例（也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：函数的变化量△y与自变量的变化△x的比值当△x→0时的极限，并定义为函数f(x)在这一点处的导数.并进而定义了导函数（简称导数）导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式

2、加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：C/=0，及=（n为正整数）课本已予推导；两个法则：[f(x)±g(x)]/=(x)±g/(x).[Cf（x）]/=C(x).请同学们根据定义自行证明一下上述两个法则后再往下看：[f(x)±g(x)]/===±=±==（C·）=C=.有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了.另外，∵=≈，∴△y≈·△x.当△x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导实际问题的解决，凡是

3、与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b(a＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2（记△y=y2－y1＞0）.于是A（x1，y1），B（x2，y2）两点间连线斜率=＞0.从而==＞0.由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞

4、y2.记△y=y2－y1＜0.则A、B连线斜率=＜0，从而==＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。而导函数值为O的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值.但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo左边＞0，而在xo右边＜0，则f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo左边＜0，而在xo右边＞0，则f(xo)是原函数的一个极小值；如在x

5、o左右符号相同，则f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f(x)都大（小）.则称f(xo)就是f(x)的一个极大（小）值.且=0，但=0.f(xo)却不一定就是f(x)的极值.最值是整

6、体概念，若f(x)的定义域是R或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）,当然也有可能不存在.若f(x)的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值.三、典型例题讲评例1．n∈N*求函数y=x—n（x≠0）的导函数我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。y/====－=－=－.上述结果的形式与=有

7、何关系？你能否据此猜度是什么（α∈R）？解：=====－这与n为正整数时(xn)/=法则相合，（即以－n代n，即得上式.）这会使我们猜测α∈R时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。提示：为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－

8、ax+c.抛物线焦点：F（－,+）它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。显然，y0=ax+bx0+cy/=2ax+b故在P点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.由于y=ax2+bx+c按向量=（，）平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线