高三数学 导数的运算性质教案同步教案 新人教a版

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1、高三数学（第6讲）一、本讲进度2．3导数2．4导数的运算性质课本第59页至65页二、本讲主要内容1、导数及导函数的定义；2、导数的运算性质及运用。三、学习指导1、导数的定义：（1）增量的概念已知函数y=f(x)的图象是曲线C，P（x0，y0）,Q（x1，x2）是曲线C上的两点，当自变量x从一个值x0变为另一个值x1时，相对应的函数由y0=f(x0)变到y1=f(x1)，则称：差x1-x0为自变量的增量，用△x表示，即：△x=x1-x0差y1-y2为函数的增量，用△y表示，即：△y=y1-y0，或△y=f(x1)-f(x0)=

2、f(x0+△x)-f(x0)△x，△y分别是自变量x，因变量y在x0处的改变量，它的值可正可负，但不能为零，△x，△y是整体符号，不能把△与x或y分开。（2）导数的定义①函数的平均变化率：称为函数的平均变化率②导数的概念如果△x→0时，的极限存在，则称该极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数（又叫变化率）符号：，即：由导数定义可知，函数y=f(x)在x=x0时导数存在，必须使得y=f(x)在x=x0处附近有定义。函数y=f(x)并不能在每一点都存在导数，只有在△x→0时，的极限存在，才能说y=f(x)在x=x0处有导数。

3、③导数的概念如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈（a，b），都应看一个确定的导数f’(x)，从而构成了一个新的函数f’(x)，称这个函数f’(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，记作y’，即：f(x)的导数与函数y=f(x)在x=x0处的导数的关系：当x0∈（a，b）时，函数y=f(x)在x0处的导数就是函数y=f(x)在开区间（a，b）上的导数f’(x)在x0处的函数值，即。因此函数y=f(x)在x0处的导数也记作f’(x0)①求函数y=f(x)的导数的一般步骤首先求

4、函数改变量：△y=f(x+△x)-f(x)其次求平均变化率再次求极限，（1）导数的几何意义函数y=f(x)在P（x0，y0）的导数为y=f(x)对应的曲线C在该点的斜率，即：当曲线C在点x0处切线的倾斜角为时，y=f(x)在点x0处导数不存在（△x=0），不能用求导方法求切线斜率，但切线方程仍然存在（x=x0）。1、基本初等函数的导数利用导数的定义，很容易得到常数函数与幂函数的导数。C’=0（C为常数），实际上n∈R亦成立特例，2、导数的运算性质如果f(x)，g(x)有导数，那么：即有限个函数的和或差的导数，等于这个有限个函

5、数的导数的和或差；常数与函数积的导数，等于常数乘函数的导数。由此得多项式函数导数4、导数是一种特殊的函数极限，是函数的一个局部性质，若函数y=f(x)在x=x0处导数存在，则称函数y=f(x)在x=x0处可导，否则称为不可导，导数的概念体现了运动变化，有限代替无限及数形结合的思想。一、典型例题例1、求函数的导数解题思路分析：先化简再利用导数的运算性质∴例2、求曲线y=x3-3x上的切线平行于x轴的点的坐标解题思路分析：利用导数求出切线的斜率∵切线平行于x轴∴其斜率为0∴令3x2-3=0得x=±1当x=1时，y=-2当x=-1

6、时，y=-2∴所求点的坐标为（-1，2），（1，2）例3、函数f(x)=2x3+3x-5，求f’(x)，(f’(x))’，f’（2）,（f(2)）’解题思路分析：直接利用导数的运算性质f’(x)=(2x3+3x-5)’=(2x3)’+(3x)’-5’=6x2+3(f’(x))’=(6x2+3)’=(6x2)’+3’=12xf’(2)=6×22+3=27∵f(2)=17是一个常数∴(f(2))’=0例4、求下列函数的导数(1)y=(x+1)(x-1)；（2）y=(x2+1)2解题思路分析：（1）y=x2-1y’=(x2-1)’

7、=(x2)’-1’=2x（1）y=x4+2x2+1y’=(x4+2x2+1)’=（x4）’+(2x2)’+1’=4x3+4x例1、自变量x取哪些值时，抛物线y=x2与曲线y=x3的切线平行？解题思路分析：设它们在点x0处的切线平行∵(x2)’=2x，(x3)’=3x2∴2x0=3x02∴x0=0，或x0=∴当x=0或x=时，抛物线y=x2与y=x3的切线平行一、同步练习（一）选择题1、y=(x-1)2的导数是：A、2(x-1)B、(x-1)2C、-2D、2(1-x)2、函数在x=2处的导数是：A、B、C、D、3、设函数f(x

8、)在点x0处有导数，且f’(x0)≠0，则当

9、△x

10、很小时，f(x0+△x)≈A、f(x0)B、f’(x0)△xC、△yD、f(x0)+f’(x0)△x4、设函数f(x)在x=x0处有导数，且=1，则f’(x0)=A、1B、0C、2D、5、曲线在点（1，）处切线的倾斜角是A、1B、C、D、