高中数学人教A版选修（2-1）3.1.3《空间向量的数量积运算》知能演练轻松闯关 .doc

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1、设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②

2、a

3、－

4、b

5、<

6、a－b

7、；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9

8、a

9、2－4

10、b

11、2.其中正确的有(　　)A．①②　　　　　　　　　　B．②③C．③④D．②④解析：选D.根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　)A.与B.与C.与D.与解析：选B.〈，〉＝〈，〉＝45°；〈，〉＝180°－〈，〉＝135°；〈，〉＝〈，〉＝90°；〈，〉＝180°.已知i、j、k是两两垂直的单位向量

12、，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－2在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，·＝__________．解析：由正方体知BC′∥AD′，∴〈，〉＝0，又

13、

14、＝

15、

16、＝，所以·＝··1＝2.答案：2[A级　基础达标]若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)A．m∥nB．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能解析：选B.因为m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.已知向量a、b是平面α内的两个

17、不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)A．6B．6C．12D．144解析：选C.∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴PC＝12.已知

18、a

19、＝3，

20、b

21、＝4，m＝

22、a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ等于__________．解析：∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝

23、a

24、2＋λa·b＋a·b＋λ

25、b

26、2＝18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.答案：－已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝__________．解析：连接向量.·＝·＝

27、

28、·

29、

30、·cos〈，〉＝a×a×cos60°＝a2.答案：a2如图所示，已知四面体ABCD的每条棱的长都等于1，点E，F分别是棱AB，AD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)·.解：

31、(1)·＝

32、

33、

34、

35、·cos〈，〉＝cos＝.(2)·＝·＝.(3)·＝·＝

36、

37、

38、

39、·cos〈，〉＝cos＝－.[B级　能力提升]已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又

40、

41、＝2，

42、

43、＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∴a与b所成的角是60°.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：选B.＝－，＝－，·＝(－)·(－

44、)＝·－·－·＋

45、

46、2＝

47、

48、2>0，∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0.∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为__________．解析：cos〈，〉＝＝＝＝0.答案：0直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，

49、a

50、＝

51、b

52、＝

53、c

54、且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋

55、b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴

56、

57、＝

58、a

59、，又

60、

61、＝

62、a

63、，·＝(－a＋c)·＝c2＝

64、a

65、2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．解：(1)证明：连接AN(图略)．设＝p，＝q，＝r.由题意可知，

66、p

67、＝

68、q