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1、不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用.二、知识要点：1.实数大小的基本性质:a-b＞0a＞b;a-b=0a=b;a-b＜0a＜b.2.不等式的性质:(1)传递性:如果a＞b,b＞c,则a＞c;如果a＜b,b＜c,则a＜c;(2)加法法则:如果a＞b,则a+c＞b+c;如果a＞b,则a-c＞b-c;(3)乘法法则:如果a＞b,c＞0,则ac＞bc;如果a＞b,c＜0,则ac＜bc;(4)移项法则:如果a+b＞c,则a＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a＞b且c＞d,则a+c＞b+d;如果a＜b且c＜d,则
2、a+c＜b+d;(6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a＞b＞0,且c＞d＞0,则ac＞bd.3.几个拓展的性质:a＞b＞0an＞bn(n∈N,n＞1);a＞b＞0＞(n∈N,n＞1);a＞b且c＞da-d＞b-c;a＞b＞0,且c＞d＞0;a＞b＞0(或0＞a＞b);4.重要不等式:(1)整式形式:a2+b2≥2ab（a、b∈R）;a2+b2+c2≥3abc（a、b、c∈R+）;≤(a、b∈R);≤(a、b、c∈R+);(2)根式形式:≥(a、b∈R+);≥(a、b、c∈R+);(3)分式形式:≥2（a、b同号）;≥3（a、b、c同号）;(4)倒数形
3、式:≥2（a∈R+）;≤-2（a∈R-）.三、典型例题：例1:已知a＞b,则不等式①a2＞b2;②;③中不能成立的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个例2:证明不等式:(1)对实数a、b,求证:≤;(2)求证:对正实数a、b、c,a+b+c≥;(3)若p＞0,q＞0,p3+q3=2,试用反证法证明p+q≤2;(4)对实数x、y,求证:x2+xy+y2≥0;(5)对实数a、b∈R+,且a+b=1,求证:≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比
4、较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差变形判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B;(3)反证法的步骤:假设推理矛盾原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在下列命题中,是真命题的是()A.x＞y和
5、x
6、＞
7、y
8、互为充要条件B.x＞y和x2＞y2互为充要条件C.a2＞b2(
9、b≠0)和互为充要条件D.和4a＞3b互为充要条件2.已知a＞b,c∈R,由此能推出下列不等式成立的是()A.a+c＞b-cB.ac＞bcC.ac2＞bc2D.a＞b3.如果ab＞0且a＞b,则有()A.＞B.＜C.a2＞b2D.a2＜b24.“a＜b＜0”是“＞”成立的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5.不等式成立的充要条件是()A.ab＞0且a≠bB.ab≠0且a≠bC.a＞0,b＞0且a≠bD.a≠1且b≠16.已知x＞2,则函数的最小值是()A.4B.3C.2D.17.不等式①a2+2＞2a;②a2+b2
10、＞2(a-b-1);③(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个8.若实数a、b、c满足b+c=3a2-4a+6，b-c=a2-4a+4,则a、b、c的大小关系是()A.b≥c＞aB.b＞c＞aC.b＜c＜aD.b＜c≤a9.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x值变化而变化10.若a≠2或b≠-1,则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是()A.M＞-5B.M＜-5C
11、.M=-5D.不能确定11.已知0＜a＜1,则、、的大小关系是()A.＞＞B.＞＞C.＞＞D.＞＞12.已知a＜b＜0,则下列不等式中不能成立的是()A.a2＞b2B.C.D.1.设a、b是不相等的正数,则()A.B.C.D.2.若0＜x＜1,0＜y＜1,且x≠y,而x2+y2,x+y,2xy,中最大的一个是()A.2xyB.x+yC.D.x2+y23.若a、b为非零实数,则在①≥ab；②≤；③≥；④≥2中，恒成立的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个4.设正数a,b满足ab=4,则2a+3b的最小值是()A.12B.10C.D.5.设a,b∈R且a+b
12、=3,则的最小值是()A.6B.8C.
