函数性质总结及练习.doc

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1、函数的基本性质1.增函数与减函数定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值（1）若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；（2）若当时，都有,则说在这个区间上是减函数.注意区间可以使定义域也可以是定义域的某个区间；的任意性；增函数随的增大而增大，呈上升趋势；减函数随的减小而减小，呈下降趋势.2.增函数与减函数形式的等价变形①在区间上是增函数当时有；②在区间上是减函数当时有；设那么上是增函数；上是减函数.3.单调性与单调区间的定义如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）注意单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔

2、开.4.单调函数的运算性质若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质：(1)与具有相同的单调性；(2)与，当时，具有相同的单调性，当时，具有相反的单调性；(3)当恒不等于零时，与具有相反的单调性；19(4)当，都是增（减）函数时，都是增（减）函数；5.复合函数的单调性：同增异减6.函数的最大（小）值的定义一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：对于任意的，都有；存在，使得.那么，我们称是函数的最大（小）值.注意（1）首先是一个函数值，他是值域的一个元素；（2）对于定义域内的每一个元素都满足；（3）这两条缺一不可.7.奇偶性的定义奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任

3、意一个，都有.偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有.奇偶性：如果函数时奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性.注意⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；⑵是奇函数；是偶函数；⑶奇函数在0处有定义，则；（4）奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称；（5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性.8.函数奇偶性的性质（1）两个奇函数的和仍为奇函数；（2）两个偶函数的和仍为偶函数；（3）两个奇函数的积是偶函数；（4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.9.复合函数的奇偶性19若函数，，的定义域

4、都是关于原点对称的，则，都是奇函数时，是奇函数；，都是偶函数，或者一奇一偶时，是偶函数．19类型一用定义证明函数的单调性例1用定义证明在定义域内为增函数.例2讨论在其定义域上的单调性.例3设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性.19类型二运用单调函数的运算性质判断函数的单调性例1已知与均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性.（1）（2）例2判断下列函数在其定义域内的单调性.（1）（2）类型三复合函数的单调性例1函数的单调递增区间是_______.例2函数的单调递增区间是.19类型四利用函数的单调性求参数的取值范围例1若函数在上为增函数，则实数的取值范围.例

5、2函数在上是增函数，求实数a的取值范围．例3函数在区间（-2，+∞）上是增函数，求的取值范围.例4已知函数若，则实数的取值范围.19类型五利用函数的单调性求最值例1（1）求函数的最小值；（2）函数在区间上的最值；（3）函数的最大值.例2（1）函数在区间上有最大值9，最小值-7，求的值.（2）已知对于函数，若的定义域和值域都为，求的值.（3）已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值.19（4）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，求的取值范围.例3（1）已知函数的最大值不大于，又当时，，求的值.（2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值.（3）已知二次函数在区间上

6、的最大值为3，求实数a的值.19例4已知函数，.(1)当时，求函数的最小值；(2)若对任意，恒成立，试求的取值范围.类型六函数的单调性解不等式例1定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合例2已知函数求满足不等式的的取值范围.例3奇函数的定义域为,且在上为增函数，问：是否存在使对任意均成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.19类型七奇偶函数的判断例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．例2（1）若为偶函数，求实数的值.（2）若函数是偶函数，且其定义域为.求的值；求函数在其定义域上的最大值.例3函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；

7、（2）用定义证明在上是增函数；解不等式19例4设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．类型八利用函数的奇偶性求函数的解析式例1（1）已知函数是偶函数，且当时有，求的解析式.（2）已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式.例2设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式19类型九单调性与奇偶函数的综合运用例1已知函数对任意，且当.（1）判断函数的奇偶性；（2）求证：是上的减函数；（3）求在上的最大值和最小值.例2已知定义在上的函数满足：对任意，；当时，且.（1）试判断函数的奇偶性；（2）判断函数在上