积分算子的线性性和有界性.pdf

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1、第32卷第7期重庆工商大学学报(自然科学版)2015年7月V01．32NO．7JChongqingTeehnolBusinessUniv．(NatSciEa)Ju1．2015doi：10．16055／j．issn．1672～058X．2015．0007．007积分算子的线性性和有界性术耿立刚，曾静(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)摘要：积分算子在数学中是作用在函数上的作用子，根据其核函数的不同，可以得到不同的积分算子；研究了积分算子的线性性及有界性等算子的代数性质，得出了积分算子是线性算予，并且在某些特定情况下

2、还是有界算子，从而是连续的线性算子的结论．关键词：积分算子；线性；有界性中图分类号：0172文献标识码：A文章编号：1672-058X(2015)07-0033-03在泛函分析中，积分算子又称积分变换是具有(()=(，)d形式的变换．此变换把函数映为函数，是把函数空间映到函数空间上的变换．其中的K(t，)是个确定的二元函数，称为此积分算子的核函数或核t)称为象原函数，)称为象函数．当选取不同的积分域或核函数时，就得到不同的积分变换．积分变换常用来处理微分方程的问题，常见的积分变换有Fourier变换、Laplace变换、Me

3、llin变换、Abel变换及Hilbert变换等．此处将对积分算子的一些代数性质如线性性、有界性等进行研究．1积分算子的线性性定理1设算子是从函数空间到函数空间y上的算子，如果对于任意的，，g∈以及常数Ot都有式(1)(2)成立：T(f+g)=Tf+(1)T(：(2)则称算子是从到y的线性算子．定理2积分算子：y是线性算子．证明设，g∈X，a是任一常数，则对于积分算子，根据积分的性质有t2+g)()=JK(t，u)(厂(t)+g())dt=Jtl一2t2J』K(￡，)t)dt+JK(￡，u)g()dt=t1，tl((“)+(

4、)(u)即(g)=+．收稿日期：2014-11-23；修回日期：2014-12—20．基金项目：国家自然科学基金天元基金项目资助(11426046)；重庆市教委项目资助(KJ120704)作者简介：耿立刚(1984．)，男，山东泰安人，讲师，博士研究生，从事算子理论及算子代数研究．34重庆工商大学学报(自然科学版)第32卷((“)Jt‘lK(￡，u)￡)d((“)即T(=OZ(rf)，即证积分算子是线性算子．2积分算子的有界性算子的范数指的是算子范数，定义为{cX≠o)对于算子，如果Il刚<∞，则称算子是有界算子．根据积分的

5、性质，易知积分算子是否有界与核函数K(t，)及积分域有关．定理3如果一个积分算子的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子是有界算子．证明由假设，核函数K(t，)是有界的，不妨设IK(t，)1≤M，由定积分的保不等式性，有}rf(u)I：l广K(t,Z／,)￡)d≤f。fK(，u)￡)ldt≤(t2一t1)=M1由此可得I】lly≤I[fll，则Il≤<∞，即积分算子是有界线性算子．定理4如果一个积分算子的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子是连续的．证明因线性算子的有界性和连续性是等价的，由

6、定理3，积分算子在所假设条件下是有界的，故积分算子在定理假设条件下是连续的．3单位圆盘上的积分型算子记为复平面C上的单位圆盘，即C上所有满足<1的复数的全体，用日()表示上所有解析函数的全体，其上的范数定义为上确界范数．设g∈H()，z∈，对于任意的∈H()，定义日()上的积分型箕子Jg为z)=J)g()d根据积分的性质，易知．，的有界性．定理5积分算子是有界的线性算子当且仅当g(z)是上的有界函数．证明充分性：由Jg的定义，<1，积分域是有界的，根据定理3可得积分算子．，是有界算子．必要性：由算子范数定义I1~1⋯p{州)

7、)㈤_g(0)l又因当，：1时，lz)I：lg()一g(0)『，故llll=lg(z)一g(0)l，因此，若是有界算子，则g(z)在上必是有界函数．积分算子在泛函分析领域的研究中具有广泛的应用，并且在一些具体的理论研究中起着关键性的作用．根据Schwarz核定理，如果核函数是个广义的函数，所有的线性算子都是积分算子．Frodholm理论就是对一般第7期赵伟舟，等：积分算子的线性性和有界性35积分方程理论的研究，在Frodholm理论中，核一般是Banach函数空间上的紧算子．在此情形下，核有时也称为Frodholm算子、核算

8、子及Frodholm核等．参考文献：[1]欧阳光中，朱学炎，金福临，等．数学分析[M]．3版．北京：高等教育出版社，2007[2]POLYANINAD，MANZHIROVAV．HandbookofIntegralEquations[M]．CRCPress，BocaRat0n，1998E33