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时间:2020-05-07
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1、(一)圆的确定1.圆的概念圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。定点就是圆心,定长就是半径的长,通常也称为半径。以定点O为圆心的圆称圆O,记作。2.圆把平面分成三部分圆、圆的内部(简称圆内)、圆的外部(简称圆外)。3.点和圆的位置关系设圆的半径为R,点P到圆心的距离为d,则(1)点P在圆外;(2)点P在圆上;(3)点P在圆内。4.圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫三角形的外心,这个三角形叫这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点。5.多边形的外接圆
2、如果一个圆经过一个多边形的各顶点,那么这个圆叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形。注意:多于三边的多边形不一定有外接圆。典型例题例1、如图,在中,,D是垂足,,以C为圆心、为半径作圆C。(1)指出A、B、D与的关系。(2)如果要使经过点D,那么这个圆的半径应为多长?(3)设的半径为R,要使点B在内,点A在外,请写出的半径R的取值范围;(4)要使点A在外,点D在内,且点B又不在上,请确定的半径R的取值范围。例2、已知直线l和两点A、B。求作:,使圆心O在直线l上,且经过A、B两点。巩固练习1、如图,在中,为锐角,,D、E是垂足。(1)求证
3、:B、C、D、E四个点在同一个圆上;(2)如果把已知条件中的改为钝角,其他条件都不变,试问:点B、C、D、E还在同一个圆上吗?并说明你的理由。2、已知等边的边长为a,求这个三角形的外接圆半径长。3、在直角坐标平面内有点P(4,3),试以P为圆心、不同的长度为半径画圆,讨论与坐标轴公共点个数的情况。(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.与圆有关的一些概念(1)圆弧(简称弧):圆上任意两点之间的部分叫做圆弧;(2)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦;(3)直径:过圆心的弦是直径;(4)圆心角:以圆心为顶点的角叫做圆心角;(5)半圆、优弧、劣弧:圆的任意一条直
4、径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫劣弧,大于半圆的弧叫优弧。(6)弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。(7)等弧:能够重合的两条弧叫做等弧;(8)等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。(9)同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。2.圆绕圆心旋转的不变性在平面上,一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度,都能与原来的图形重合。圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形,旋转角可为大于0o且小于360o的任何一个角。3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对
5、的弦相等,所对的弦的弦心距也相等;(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等,那么它们所对的其余三组量也分别相等。典型例题例1、和的两边分别相交于点A、B和点C、D。(1)如果AB=CD,求证:点O在的平分线上;(2)如果PA=PC,求证:AB=CD。例2、如图,在中,弦AB、CD相交于点P,,M、N是垂足,联结MN。如果,求证:是等腰三角形。巩固练习1、如图,是的外接圆,OE、OF分别是AB、AC的弦心距,OE=OF且,请判断的形状,并说明理由。2、如图,AB是半圆O的直径,C、D分别
6、是AO、BO的中点,又于点C,于点D,点E、F在半圆O上。(1)求证:;(2)如果AB=a,求CE和DF的长。3、如图,在中,弦AB的长是半径OA的倍,C是的中点。求证:四边形OACB是菱形。(三)垂径定理1.圆的轴对称性圆是轴对称图形,任意一条直径所对的直线都是它的对称轴。2.垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧。3.垂径定理的推论(1)如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧;(2)如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦;(3)如果一条直线是
7、弦的垂直平分线,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧;(4)如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦;(5)如果一条直线垂直于弦,并且平分弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦。4.基本作图用直尺和圆规平分已知弧。典型例题例1、如图,M是弦CD的中点,EM过圆心O,已知CD=4cm,EM=6cm,求所在圆的半径。例2、如图,P是外一点,过点P的两条直线分别交于点A、B和点C、D,又E、F分别是的中点,联结EF,交AB、CD于点M、N。判断的形状并证明。例3、内接于,AB=AC。已知的半径为7,且圆心O
8、到BC的距离为3。求腰AB的长。例4、如图(1),在中,CD是弦,
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