2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数：第3章第19讲 等比数列

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1、第三章数列、推理与证明等比数列第19讲等比数列的基本量运算【例1】已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.点评研究等差数列或等比数列，通常向首项a1，公差d(或公比q)转化．在a1，an，d(或q)，Sn，n五个基本量中，能“知三求二”．【变式练习1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝3.求：(1)等比数列{an}的公比q；(2)a17＋a18＋a19＋a20的值．等比数列的判定与证明【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)．若an＋Sn＝

2、n，(1)设cn＝an－1，求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．点评判断一个数列是等比数列的方法有定义法、等比中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断．证明一个数列是等比数列的方法有定义法和等比中项法，注意等比数列中不能有任意一项是0.等比数列的公式及性质的综合应用(2)证明：因为S7＝27－1，S14＝214－1，S21＝221－1，所以S14－S7＝27(27－1)，S21－S14＝214(27－1)，所以S7·(S21－S14)＝214·(27－1)2＝(S14－S7)2，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比

3、数列．(3)因为f(n)＝bn＝4an＝2n＋1(n∈N*)，所以bn＝f(n)的图象是函数f(x)＝2x＋1的图象上的一列孤立的点(图略)．点评本题主要考查三个方面：一是由两个给出的等式，解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求得通项公式及前n项和公式，要求记牢公式和细心运算；二是用等比中项的方法证明三个数成等比数列．一般地，三个非零实数a、b、c满足b2＝ac，则a、b、c成等比数列；三是考查等比数列的图象．此题不难，但较全面地考查了等比数列的有关知识，对复习基础知识是很有帮助的．等差数列与等比数列的综合应用点评此题抓住等比数列中的项不可能是原来等

4、差数列中的连续3项或3项以上，这实质上是一个数列如果既是等差数列，同时又是等比数列，则必定是公差为0的非零常数数列．因为在等差数列的公差d≠0时，不能构成等比数列，所以只有n＝4可能适合题意，从而将问题大大简化．【变式练习4】已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn＜128.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)．由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1

5、.因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝1/21.在等比数列{an}中，a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝__________1352.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝____________.－24.若数列{an}的前n项和可表示为Sn＝2n＋a，则{an}是否可能成为等比数列？若可能，求出a的值；若不可能，说明理由．5.已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a

6、1、a3、a2成等差数列．(1)求公比q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想，考题一般从三个方面进行考查：一是应用等比数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公比进而求得等比数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等比数列问题间接地求得等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等比数列．1．等比数列常用的性质：(1)等比数列{an}中，对任意的m，n，p，q∈N*

7、，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap2.(2)对于等比数列{an}中的任意两项an、am，都有关系式an＝amqn－m，可求得公比q.但要注意n－m为偶数时，q有互为相反数的两个值．(3)若{an}和{bn}是项数相同的两个等比数列，则{an·bn}也是等比数列．答案：3选题感悟：运用等比数列的性质求解等比数列问题，是一个基础考点，是数列高考的重点内容之一．2．(2010·苏州期中卷)等比数列{an}共2n＋1项，首项a1＝1，所有奇数项的和等于85，所有偶数项的和等于42，则n＝______.答案：

8、3选题感悟：本题主要考查等比数列的性质及前n项和公式，同时也考查了方程思想及整体思想的运用．选