2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数：第2章第9讲-函数的单调性.ppt

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1、第二章函数函数的单调性第9讲函数单调性的判断与证明点评研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法．定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(f(x2)－f(x1))，运算的结果可以判断正、负．本题判断正、负的依据是代数式“x1x2－a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础．把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2－a”的符号，【变式练习1】求证：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．求函数的单调区间点评【变式练习2】求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)(0

2、0，则x∈(－3,1)．由于函数u的图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数u在[－1,1)上是单调减函数，在(－3，－1]上是单调增函数．又因为函数y＝logau(0

3、．本题中，不能忽视u＝x2－ax＋3a>0(2)保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性．本题中，[a/2，＋∞)是单调增区间，与[2，＋∞)一致；(3)注意防止扩大参数的取值范围，本题中，u(2)>0.【变式练习3】是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是单调增函数？证明你的结论．抽象函数的单调性点评抽象函数单调性问题的特点是：(1)给出定义域；(2)给出满足函数意义的表达式(本题是f(xy)＝f(x)＋f(y))；(3)讨论函数的单调性和不等式求解等问题．处理方法：(1)在定义域内任意取值，

4、找出某些具体的函数值，如f(1)等；(2)抓住关系式，如f(xy)＝f(x)＋f(y)，进行适当的赋值和配凑，如本题中找出f(x)＝－f(1/x)；(3)从函数值的大小关系中，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解不等式(组)来完成．【变式练习4】定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0.当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)证明：对任意的x∈R，f(x)>0；(2)证明：f(x)是R上的单调增函数；(3)若f(x)·f(x2

5、＋x)<1，求x的取值范围．(2)证明：设x10，所以f(x2－x1)>1，且f(x1)>0，所以f(x2)－f(x1)>0，故函数f(x)在R上是单调增函数．(3)由f(x)·f(x2＋x)＝f(x2＋2x)<1＝f(0)，得x2＋2x<0，解得－2

6、范围是________________【解析】依题意得对称轴方程为x＝1－a，则1－a≥4，得a≤－3.(－∞，－3](3，＋∞)【解析】先求定义域：x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3；再利用复合函数的单调性判断法则可知二次函数u＝x2－2x－3要递增，两者结合，所求函数的单调递减区间是(3，＋∞)．4.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且在区间(－1,1)上是单调减函数．若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．(2)导数法：设f(x)定义在区间D上，求f′(x)，对x∈D，若f′(x)>0(<0)，则函数

7、f(x)在D上是单调增函数(单调减函数)．2．求函数的单调区间的方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法；步骤：先求定义域，再选择合适的方法求单调区间；注意点：结论只能写成区间的形式；多个单调区间中间用“，”隔开，不能“并”；3．复合函数的单调性函数y＝f[u(x)]称为复合函数，其中u(x)称为“内层函数”，y＝f(u)称为“外层函数”．“内、外层函数”的单调性相同时，函数y＝f[u(x)]是单调增函数，相反时，函数y＝f[u(x)]是单调减函数．简称为“同增异减”．在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值

8、域是外层函数的定义域．在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有直接关系，因此要注意两点：一是确保单调区间上函数有意义；二是根据单调性，转化为不等式(组)