2012_12_7有限元讲稿第四章_四面体单元rev2

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1、第四章弹性结构静力分析1三维四面体单元在工程实际中，许多问题结构形式复杂都难以简化为平面或轴对称问题，必须按三维问题（空间）进行求解。在三维问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体单元。下面介绍这种单元的位移模式和单元刚度矩阵。三维四面体单元oxyzijmp2（1）位移模式如图表示一个四面体单元，节点编号为(i,j,m,p)。这是最早提出的、也是最简单的三维空间单元。每个节点有三个位移分量：{i}=[ui,vi,wi]每个单元共有12个自由度（位移分量），可表示为：{}e=[i,j,m,p]假设单元内部的任一点位移可表示为坐标

2、的线性插值函数，则有：oxyzijmp3（1）位移模式将节点节点坐标和位移分量代入上式可得：解上述线性方程组，求出系数(a1,a2,a3,a4)代入上式可得：oxyzijmp同理可得v,w得位移关系为：4（1）位移模式Ni(i,j,m,p)为三维四面体单元得形函数。具体表达式如下：V为四面体i,j,m,p的体积，由下行列式确定：oxyzijmp为保证四面体的体积计算为正值，单元的节点编号必须满足一定的顺序。在右手坐标系中，当节点按ijm的方向转动时，右手螺旋应向节点p的方向前进。5（1）位移模式三维四面体单元节点位移分量可表示为：式中，

3、{}e=[ui,vi,wi,uj,vj,wj,um,vm,wm,up,vp,wp]T，为单元节点位移列阵，[I]为三阶单位矩阵。由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。6（2）单元应变和应力由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与应力分量。根据几何方程应变列阵可表示为：将形函数代入上式，可得：于是应变矩阵为[B]，其中子矩阵[Bi]为63的矩阵：可以看出，矩阵[B]中的元素均为常量，所以单元的应变分量都是常应变。7（2）单元应变和应力利用物理方程（应力-应变关系），单元应力可用节点位移表示为：其中，弹

4、性矩阵[D]具有如下形式：注意单元应变分量为常量，应力分量也为常量，这种单元称为常应变单元。对称8（3）单元刚度矩阵三维条件下单元刚度矩阵普遍公式为：将矩阵[B]和[D]代入上式，由于这些矩阵元素均为常量，很容易推导出：[k]=[B]T[D][B]V或写成分块形式：9（3）单元刚度矩阵其中，子矩阵[krs]由下式确定：式中，g1=/(1-)，g2=(1-2)/[2(1-)]。10（4）等效节点载荷当单元内作用体积力：{q}=[qx,qy,qz]T并且体积力为常数时，可由下式求的节点i,j,m,p的等效载荷为：其中V为单元的体积，即三

5、个方向的体积力都平均分配到单元的四个节点上。11等参单元由前面的讨论可知，单元形函数（位移模式）的确定是建立有限元法计算公式的关键，也即如何选择单元内部位移的近似插值函数。在建立单元的位移模式时，可以采用结构的整体坐标系，也可以采用单元的局部坐标系，即通过坐标变换，将坐标原点选择在单元上。利用单元局部坐标系，可获得推导单元形函数的一般方法，进而建立“等参单元”的概念。“等参数单元”是一种构造单元近似插值函数的方法。“等参单元”是有限元法中应用最为广泛的单元，即适用于线性单元，也很容易推广到二次单元，容易推广于直线和曲线边界等各种复杂问题。为

6、了介绍“等参元”的概念，首先分析一下单元形函数的性质，即在确定形函数，应满足那些基本准则。12（1）单元形函数单元形函数是定义于单元内部坐标的连续函数，为保证有限元解的收敛于精确解，它应满足以下条件：1）在单元节点上有：Ni=1；Nj=0，（ji）；2）用形函数定义的位移模式在相邻单元边界是连续的，即函数单值和连续性；3）形函数应包含任意的线性项，以保证单元位移能够满足常应变条件；4）对某一单元，全部节点的形函数和为1：Ni=0。以点、直线、平面为边界的规则形状的单元称为“基本单元”，把固定在单元上的无量纲坐标系称为“自然坐标系”，也称

7、为定义在单元上的“局部坐标系”，仅在单元内有意义-1+1，-1+1，如图所示。o=0=+1=-112o87654321o12345678一维单元二维单元三维单元13（1）单元形函数与基本单元相对应，以点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为“实际单元”，将固定的直角坐标系称为“整体坐标系”或“基本坐标系”。实际单元定义在整体坐标系中，如图所示。oyxooxxyyz121234567812345678一维单元二维单元三维单元14（1）单元形函数由于局部坐标系和基本单元形式简单，其形函数也容易构造，我们希望在获得基本

8、单元形函数的条件下，通过一定的坐标变换转换为整体坐标中实际单元的形函数。在单元局部坐标系中，利用插值函数很容易构造形函数。如图所示，两种一维基本单元，对线性单元有2个节点1=-