有限元法讲稿

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1、平面问题的有限单元法有限单元法是随着计算机的出现而发展起来的一种有效数值计算方法，有限单元法出现于40年代，被应用于飞机结构分析，有限元这个术语是1956年首先使用的。目前已广泛地用于工程结构的力学分析中。第一节基本概念一、实质理想化连续体―――――――单元集合体（解析模拟、逼近求解区域）无限自由度有限个自由度有限单元法首先把结构划分成许多单元,在一定的简化假设前提下,研究单元的力学特性，即单元分析；然后把各单元综合起來,把局部的力学特性扩展到整体,即整体分析37；最后导出一组以结构结点位移为未知量的代数方程组。通过求解方程组而得到单元的结点位移值，就可近似计算出结构任意一点的受力

2、状态。这种以结点位移为基本未知量的计算方法称为有限单元位移法。二、理论基础弹性力学：变分原理能量原理基本方程：几何方程、物理方程1.平面问题的几何方程37这就是弹性力学平面问题的几何方程，它给出了某一点的位移与该点应变之间的关系。反映了变形协调关系。2.平面问题的物理方程即：给出了力与变形之间的关系，称为平面问题物理方程，是针对平面应力问题推导出的。对于平面应变问题，只需将公式中的换成，把换成即可。这样，弹性矩阵就变为：37（2.8）这就是适用于平面应变问题的弹性矩阵。3.弹性体的能量原理（1）应变能在弹性范围内，对于平面问题，某个面积A的应变能可以用下式表示写成矩阵的形式为37（

3、2）外力势能外力势能用矩阵的形式可表示为式中¾¾作用在弹性体i点的外力分量；¾¾i点的位移分量（3）弹性体的总势能弹性体在外力作用的总势能定义为应变能和荷载势能之和，即（4）最小势能原理37单元的众多的结点位移中,须满足条件：即的一组位移才是真正的位移。最小势能原理反映的是平面体的平衡方程。4.变分原理(1)基本概念设一泛函Π,它由积分形式确定,一般形式为:Π是随函数u变化而变化的函数，称为u的泛函。37（2）欧拉公式设一维泛函使此泛函取得极值的函数y(x)必定满足下列方程式(推导从略)其中:;;;;这就是欧拉方程。满足欧拉方程的函数y(x)能使泛函取极值。换言之,欲求能使泛函取极

4、值的函数y(x)就必须求解欧拉方程这一偏微分方程。(3)(位移)变分的近似解法＿＿瑞雷-里兹法37最小势能原理给弹性力学问题提供了这样一种近似解法：设定一个位移分量的表达式,使其满足位移边界条件和连续可微条件(这是容许位移所要满足的条件),并包含若干待定系数,用位移分量来表示变形能。这样,总势能即由位移和变形的泛函变为这些待定系数的函数。然后根据极值条件方程来确定这些待定系数,从而求得近似解。这就是瑞雷法。里兹把位移函数假定为:其中:＿＿＿待定系数；＿＿＿假定的某种函数。这些函数可以是幂函数()也可以是其他合适的函数。把这些位移函数代入总势能泛函,总势能泛函即由位移的泛函变为这些待

5、定系数的函数。然后根据极值条件来确定这些待定系数以求得近似解。这就是瑞雷-里兹法。37这2n个方程正好解出这2n个待定系数,从而求得位移函数的近似解。(4)用有限单元法解微分方程37三、分析的一般过程图1.1（a）（b）1、划分单元―――连续体的离散化构成了以单元的集合体来近似代替原来的连续体的有限元分析计算模型2、建立位移模型373、单元分析单元的刚度方程可表示为，（1.1）式中：¾¾单元结点力向量；¾¾就是单元的刚度矩阵；它反映了单元结点力与单元结点位移之间的关系。单元分析的结果就建立单元的单元刚度方程和求出单元刚度矩阵。4、整体分析整个结构的刚度方程可以由最小势能原理来建立。

6、总刚度方程为（1.2）式中：¾¾结构的等效结点荷载向量；¾¾结构的总刚度矩阵；¾¾结构的结点位移向量，由单元的结点位移向量集成；整体分析的目的就是建立整个结构的刚度方程，以求解未知的结点位移及计算单元应力。375、求解节点力位移6、通过位移求解应力、应变四、单元类型把结构离散成有限个单元时，可以选择不同的单元形状，图1.2列出了工程中常用的几种单元的形状,自左至右分别是：三结点三角形单元,六结点三角形单元、四结点矩形单元、四结点等参数单元和八结点曲边等参数单元。这些单元的特性和分析方法将在下面讨论。图1.2常用平面单元的形状37第一节常应变三角形单元一、位移模式和形函数图5.3.1

7、37设、为单元中任一点沿轴和轴方向的位移，假定单元中各点的位移成线性变化，即（3.1）这就是我们所假定的三角形单元的线性位移模式。把上式写成矩阵形式，即：（3.1a）或写成（3.2）当时,37当时当时同理（3.3a）（3.3b）求解以上两式的方程组可得待定系数，即得到。这里略去推导过程中的繁琐运算，最后可得到矩阵N为：（3.9）其中：A为单元面积；37（3.11）（3.12）37（3.13）令（3.14）、、称为单元的形函数。矩阵Ｎ称为单元的形函数矩阵。由式（3.9）