有限元法基础讲稿-第17讲新doc.ppt

《有限元法基础讲稿-第17讲新doc.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、结构静力学问题的有限元法单元与整体分析能量原理有限单元法的核心是建立单元刚度矩阵，有了单元刚度矩阵，加以适当组合，可以得到平衡方程组，剩下的就是一些代数运算了。在弹性力学平面问题计算中，我们是用直观方法建立单元刚度矩阵的，其优点是易于理解，并便于初学者建立清晰的力学概念。但这种直观方法也是有缺点的：一方面，对于比较复杂的单元，依靠它建立单元刚度矩阵是有困难的；另一方面，它也不能给出关于收敛性的证明。把能量原理应用于有限单元法，就可以克服这些缺点。能量原理为建立有限单元法基本公式提供了强有力的工具。在各种能量原理中，虚位移原理和最小势能原理应用最为方便，

2、因而得到了广泛的采用。虚位移原理。所谓虚位移可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。结构静力学问题的有限元法…单元与整体分析图2-15固体的边界条件考虑图2-15所示的物体，它受到外力F1、F2、…等的作用，记F＝[F1F2F3…]T在这些外力作用下，物体的应力为结构静力学问题的有限元法…单元与整体分析现在假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为，记上述虚位移所产生的虚应变为在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中

3、，外力保持不变。因此，外力在虚位移上所做的虚功是整个物体的虚应变能为虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即(2-1-52)(2-1-53)(2-1-53)结构静力学问题的有限元法…单元与整体分析虚位移原理不但适用于线性材料，也适用于非线性材料。最小势能原理物体的势能定义为物体的应变能U与外力势V之差，即其中应变能U为外力势由下式计算式中，右端第l项为集中力F的势；第2项为体积力q的势；第3项为面力的势；Sσ为面力作用的表面；rb为表面Sσ上的位移。(2-1-54)结构静力学问题的有

4、限元法…单元与整体分析最小势能原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调（连续）位移中，那些满足平衡条件的位移使物体势能取驻值，即对于线性弹性体，势能取最小值。最小势能原理可以用虚位移原理证明。最小势能原理可用虚位移加以证明。(2-1-55)结构静力学问题的有限元法…单元与整体分析用能量原理求单元刚度矩阵和节点荷载利用最小势能原理，可以求出单元刚度矩阵及节点荷载。对空间问题，设一个单元，在各节点上作用着节点力Fe，单元节点位移为δe、单元应变为ε=Bδe，物体应变能为即其中Ke为单元刚度矩阵单元节点力的外力势为(2-1-56)结构静力学问题的有限元法…单

5、元与整体分析则单元的势能为由最小势能原理，，所以有则节点力为从物理上考虑，应变能必须是正量，而节点位移又是任意的，所以单元刚度矩阵是正定的。由此可以推断势能的二阶变分是非负的。既然势能的一阶变分等于零，二阶变分又非负，从而可以断定势能取最小值。把r=Nδe代入外力势的表达式中，得到体力q与面力的势为(2-1-57)结构静力学问题的有限元法单元与整体分析所以单元的势能为根据最小势能原理得到以上诸式跟由虚位移原理推得结论一致。(2-1-58)(2-1-59)结构静力学问题的有限元法…单元与整体分析用能量原理求总体平衡方程结构整体刚度矩阵为K，节点位移为δ，

6、结构内能为{P}为作用在节点上的荷载，荷载的势为结构的势能为由最小势能原理，势能取驻值，即(2-1-60)(2-1-61)结构静力学问题的有限元法…单元与整体分析则得到该方程与由节点平衡方程得到的方程组一致，但结构复杂时或采高次单元时，利用最小势能原理建立方程组无特殊困难。(2-1-62)