有限元法基础讲稿-第13讲新doc.ppt

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1、结构静力学问题的有限元法轴对称问题有限元法如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。在竖井、压力容器及机械制造中，经常遇到轴对称应力问题。用有限单元法分析轴对称问题时，须将结构离散成有限个圆环单元。圆环单元的截面常用三角形或矩形，也可以是其他形式。这种环形单元之间由圆环形铰相连，称为结圆。轴对称问题的单元虽然是圆环体，与平面问题的平板单元不同，但由于对称性，可以任取一个子午面进行分析。圆环形单元与子午面上相截生成

2、网格，可以采用平面问题有限元分析相似的方法分析。不同之处是：单元为圆环体，单元之间由结圆铰接，节点力为结圆上的均布力，单元边界为回转面。结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法图2-8轴对称弹性体三角形单元图2-9轴对称三角形单元节点力与节点位移结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，θ，z)较为方便。如果以弹性体的对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与θ无关，只是r和z的函数。任一点只有两个位移分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于对

3、称，θ方向的环向位移等于零。在轴对称问题中，采用的单元是一些圆环。这些圆环和rz平面正交的截面通常取为三角形，如图2-8所示的ijm(也可以取为其他形状)。各单元之间用圆环形的铰链互相连接，每一个铰与rz平面的交点称为节点，如i、j、m等等。各单元在rz平面上形成三角形网格，类似于在平面问题中各三角形单元在xy平面上所形成的网格。但是在轴对称问题中，每个单元的体积都是一个圆环的体积，这点与平面问题是不同的。假定物体的形状、约束条件及荷载都是轴对称的，这时只需分析一个截面。结构静力学问题的有限元法…

4、轴对称问题有限元法位移函数取出一个环形单元的截面ijm如图2-9所示，在节点位移为仿照平面问题，位移的类似表达式为其中(2-1-22)结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法写为矩阵的形式其中是二阶单位矩阵。(2-1-23)结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法单元应变图2-10轴对称弹性体的应力轴对称应力问题，每点具有4个应变分量，如图2-10所示，沿r方向的正应变εr，称为径向正应变；沿θ方向的正应变εθ，称为环向正应变；沿z方向的正应变εz，称为轴向正应变；在rz平面中的剪应变为γ

5、rz。由于轴对称，其余两个剪应变分量γrθ及γθz都等于零。根据几何关系，可推知应变与位移之间符合下列关系结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法将位移函数式代入上式得其中(2-1-24)(2-1-25)结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法环向应变εθ中包含了坐标r和z，不是常量，但其他应变分量都是常量。单元应力在轴对称问题中，任一点具有4个应力分量，即径向正应力σr、环向正应力σθ、轴向正应力σz及剪应力τrz。应力与应变之间的关系，可用矩阵写成式中[D]为弹性矩阵，对各向同性体(2

6、-1-26)结构静力学问题的有限元法…轴对称问题有限元法单元刚度矩阵由虚位移方程，沿着整个圆环求体积分，可得节点荷载对于轴对称问题，节点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。例如，设节点的半径为r，单位长度的铰上作用的荷载为(径向)和(轴向)，计算中采用的节点荷载应为径向2πr，轴向2πr。设单位体积内作用的体积力(重力、离心力等)为q=[qrqz]T，节点荷载为(2-1-27)(2-1-28)