有限元法基础讲稿-第16讲新doc.ppt

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1、结构静力学问题的有限元法等参数有限元方法单元插值函数的方次随单元节点数目增加而增加，其代数精确度也随之提高，用它们构造有限元模型时，用较少的单元就能获得较高精度的解答。但前面给出的高精度单元的几何形状多很规则，对复杂边界的适应性差，不能期望用较少的形状规则的单元来离散复杂几何形状的结构。那么，能否构造出本身形状任意、边界适应性强的高精度单元呢?构造这样的单元存在两个方面的困难：一是难以构造出满足连续性条件的单元插值函数；二是单元分析中出现的积分难以确定积分限。于是希望另辟蹊径，利用形状规则的高次

2、单元通过某种演化来实现这一目标。数学上，可以通过解析函数给出的变换关系，将一个坐标系下形状复杂的几何边界映射到另一个坐标系下，生成形状简单的几何边界，反过来也一样。那么，将满足收敛条件的形状规则的高精度单元作为基本单元，定义于局部坐标系(取自然坐标系)，通过坐标变换映射到总体坐标系(取笛卡儿坐标系)中生成几何边界任意的单元，作为实际单元，只要变换使实际单元与基本单元之间的点一一对应，即满足坐标变换的相容性，实际单元同样满足收敛条件。这样构造的单元具有双重特性：作为实际单元，其几何特性、受力情况、

3、力学性能都来自真实结构，充分反映了它的属性；作为基本单元，其形状规则，便于计算与分析。结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法有限单元法中最普遍采用的变换方法是等参数变换，即坐标变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数，等参数变换的单元称之为等参数单元。借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，因此，等参数单元的提出为有限单元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。由于等参数变换的采用使等参数单元的各种特性矩阵

4、计算在规则域内进行，因此不管各积分形式的矩阵中的被积函数如何复杂，都可以方便地采用标准化的数值积分方法计算，从而使各类不同工程实际问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序的轨道，现在的有限元分析大多采用等参数单元。结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法等参数变换为将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体坐标中几何形状复杂的单元，整体坐标（x，y，z）（笛卡儿坐标）与局部坐标（ξ，η，ζ）（自然坐标）之间使用坐标变换为建立前面所述的变换，最方便的方法是将坐标变换式也表示成插值函数的形式其中，n是

5、用以进行坐标变换的单元节点数，xi，yi，zi是这些节点在总体坐标内的坐标值，Ni也称为形状函数，实际上是用局部坐标表示的插值基函数。通过上式建立起两个坐标系之间的变换，从而将局部坐标内的形状规则的单元(基本单元)变换为笛卡儿坐标内的形状扭曲的单元(实际单元)，前者为母单元，后者为子单元。(2-1-39)结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法是相同的，由于坐标变换和函数插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数，故称这种变换为等参数变换。各种单元的插值函数可查阅有关资料。图2-14的等参数变

6、换为a）母单元b）子单元图2-14二维线性单元的变换(2-1-40)结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法单元矩阵的变换有限元分析中，为建立求解方程，需要进行各个单元体积内和面积上的积分，来描述在x、y、z坐标系下出现的物理量，它们的一般形式可表示为但实际单元是由局部坐标下的基本单元映射生成，位移模式(2-1-40)是局部坐标的函数，单元列式的推导是在局部坐标ξ、η、ζ下进行的。由于从坐标变换式(2.1.39)不能获得、、的显式，G（x，y，z）与g（x，y，z）作为x、y、z的函数也就只能

7、是某种隐含的关系，不存在显式表达，所以只能在局部坐标ξ、η、ζ下完成前面的积分。为此需要建立两个坐标系内体积微元、面积微元之间的变换关系。而被积函数G和g中还常包含着对于总体坐标x、y、z的导数，因此还要建立两个坐标系内导数之间的变换关系。(2-1-41)(2-1-42)结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法导数之间的变换关系。按照通常的偏微分规则，函数Ni对ξ、η、ζ的偏导数可表示成上式中J称为Jacobi矩阵，可记作，利用式(2-1-39)，J可以显式地表示为局部坐标的函数(2-1-43

8、)结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法这样一来，Ni对于x，y，z的偏导数可用局部坐标显式地表示为结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法其中[J]-1是[J]的逆矩阵。(2-1-44)结构静力学问题的有限元法…等参数有限元方法体积微元、面积微元的变换。dξ、dη、dζ在笛卡儿坐标系内所形成的体积微元是dV=dξ·(dη×dζ)而其中i、j和k是笛卡儿坐标x、y和z方向的单位向量。将式(2-1-46)代入式(2-1-45)，得到(2-1-45)(2-1-46)结构静力学问题的有限元法…等