电动力学5教案.doc

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1、第五章电磁波的辐射本章重点：1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性；2、达郎伯方程及推迟势的物理意义；3、矢势的展开和偶极辐射；4、电磁场的动量守恒。本章难点：1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出；2、电磁场的动量密度张量的引入和意义。引言一．电磁辐射不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。本章主要研究高频交变电流产生的电磁辐射。二．引入矢势和标势可以更方便的求解电磁辐射问题与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里

2、引入的失势、标势与静电场情况有很大的不同。三．辐射问题的本质也是边值问题变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电荷、电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界情况很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。§5.1电磁场的矢势和标势一．用势描述电磁场本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。（1）矢势的引入由于（与静电场相同），可以引入矢势，使

3、得注意：①与静电场不同的是，这里引入的矢势与时间相关；②矢势的意义与静电场情况相同，即：（2）标势的引入在变化电磁场情况，，不能象静电场那样直接引入标量势函数。但是，由和电场的旋度方程可以得到：，移项并合并得：因此可以引入标量势函数，使得，引入后电场强度：一．规范变换和规范不变性1．失势和标势的不唯一性同静电场相同，这里引入的矢势和标势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定的关系。2．规范变换l规范：给定一组称为一种规范；l规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。两种规范间的变换关系式：证明：由于和，和没有改变电场和磁场强度，所以，即。又：=，

4、故l规范不变性：在规范变换下电磁场的强度、方程保持不变的性质。l规范场：运动方程具有规范不变性的场称为规范场。3．两种规范要使势函数减少任意性，必须给出，它的值被称为规范的辅助条件。值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。库仑规范规范条件：（即定义为无源场）。在这一条件下的称为库仑规范。在库仑规范下，为横场，纵场。因此，电场的横场部分完全有决定，而纵场部分完全有决定。在这种情况下，由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。满足的方程：（即满足拉普拉斯方程）证明：∵，∴。洛仑兹规范规范条件：。后面将看到在洛仑兹

5、规范下，所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。满足的方程：（即满足波动方程）证明：∵=，∴。一．达朗贝尔方程1．真空中的达朗贝尔方程证明：将，代入麦克斯韦方程：并利用：得到达朗贝尔方程。（详细证明过程由学生自己补齐）1．库仑规范下的达朗贝尔方程可见满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的在时刻的值由电荷在时刻的分布给出，不能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。2．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程l　反映了电磁场的波动性洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的及均为波动形式，反映了电磁场的波动性。l两个方程

6、具有高度的对称性且相互独立求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。3．用两种规范求解平面电磁波（1）用库仑规范求解因为是在自由空间讨论问题，考虑解的唯一性，=0是唯一的解。库仑规范下的达朗贝尔方程化为：，其解为：，由可推出。因此得到：（2）用洛仑兹规范求解从洛仑兹规范下的达朗伯方程直接可以得到矢势和标势的平面波解：，　　得到；由，　和　　得到：　　；由，得：，与上一章的解完全一致。如果加上这一条件，则得，两种规范就完全一致了。

7、在这种情况下，是唯一确定的。§5.2　推迟势本节讨论空间存在电荷和电流分布情况下洛仑兹达朗伯方程的解。一．标势的达朗伯方程的解标势方程中为已知。若较复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。1．点电荷在空间激发的标势设点电荷处于原点，，考虑对称性取球坐标且与　无关。标势的达朗伯方程化为：当时，　　　令　　这个类似于一维波动方程的解可以表示为：则：　，代表向外传播的球面波，代表向内收敛的球面波。由于是讨论辐射问题可令：，然后与点电荷的电势类比有：。若点电荷不在原点而在空间点，则。连续的电荷分布在空间产生的电势一．矢势的